3.Uogól praw HOOKE`A.pdf

(70 KB) Pobierz
Zwi zki mi dzy napr eniami i odkszta ceniami
Przyjmujemy,
e cia o jest jednorodne izotropowe, podlega prawu Hooke'a oraz ulega
deformacji w zakresie ma ych odkszta ce , ponadto przyjmiemy:
znane s :
E
oraz .
W teorii spr ysto ci, rozpatruj c bry
aszczyzny wzajemnie prostopad e.
W ka dej z tych p aszczyzn wyst pi
jedna sk adowa normalna
napr enia i
dwie sk adowe
styczne. Stosuj c
zasad
superpozycji,
sumujemy odkszta cenia i otrzymujemy zwi zki
przestrzenn dowolnie obci on wyodr bniamy trzy
mi dzy sk adowymi stanów napr enia i odkszta cenia.
Wyodr bnimy my lowo z bry y, w której istnieje tylko napr enie normalne
x
w kierunku osi
x,
sze cian o boku
ds
rys.1. Napr eniu temu odpowiada b dzie odkszta cenie w kierunku osi
x.
x
x
E
,
,
oraz odkszta cenie w kierunku osi
y
i
z
x
y
x
x
z
x
E
E
z
.
z
ds
ds
z
ds
y
x
x
y
y
x
Rys. 1
x
Rys. 2
z
z
zy
yz
ds
yz
y
yz
y
x
x
Rys. 3
z
z
zy
zx
xz
xy
x
yx
yz
y
zx
Rys. 4
z
z
zy
yz
xz
xy
x
yx
y
y
y
x
x
Rys. 5 Sk adowe stanu odkszta cenia.
Je eli w bryle istniej tylko napr enia styczne
wzgl dem osi
x
otrzymujemy
yz
zy,
yz
Rys. 6 Sk adowe stanu napr enia.
rys. 3, to z warunku sumy momentów
ds
2
zy
ds
2
0
, czyli
yz
zy
.
Napr eniom tym odpowiada odkszta cenie postaciowe
yz
yz
G
,gdzie
G
E
2 (1
)
jednocze nie sze
(1).
ró nych sk adowych
W przypadku ogólnym w bryle mo e wyst pi
napr enia rys. 6. Odpowiadaj ce im sk adowe odkszta cenia rys. 5 okre limy na zasadzie
superpozycji, wed ug tabeli 1.
Tabela 1
z
z
y
z
z
z
z
zy
z
zx
y
x
x
xy
yx
y
yz
y
xz
y
x
y
x
x
y
x
x
x
1
E
x
E
x
y
E
z
y
E
E
0
0
1
E
E
0
0
y
E
z
z
xy
x
y
1
E
0
0
z
1
G
0
xy
yz
1
G
yz
zx
0
0
0
0
0
1
G
zx
Sumuj c poszczególne wiersze z tabeli 1, otrzymamy dla materia u izotropowego zwi zki
mi dzy sk adowymi odkszta cenia i napr enia
x
y
z
1
E
1
E
1
E
x
y
z
,
,
,
xy
xy
G
yz
,
,
.
y
z
x
yz
G
zx
z
x
y
zx
G
Zwi zki powy sze mo emy zapisa w postaci macierzowej
1
E
x
y
z
xy
yz
z x
E
E
0
0
0
E
1
E
E
0
0
0
E
E
1
E
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
0
z
x
y
0
0
1
G
xy
yz
z x
1
0
G
0
0
lub
~
D
.
Obliczymy macierz
D
odwrotn do macierzy
~
D
,
czyli
D
~
D
1
i wyrazimy w postaci
macierzowej napr enie w zale no ci od odkszta cenia
D
lub
,
1
x
y
z
xy
yz
z x
0
1
1
0
0
0
0
0
1 2
2
0
0
0
0
0
0
1 2
2
0
0
0
0
0
0
1 2
2
x
y
z
xy
yz
z x
2G
1 2
0
0
0
0
0
0
(2).
Macierz
D
nazywana jest macierz
prawo Hooke’a.
spr ysto ci. Powy sze zwi zki wyra aj
uogólnione
Po dodaniu stronami sk adowych normalnych napr enia otrzymujemy zwi zek mi dzy sum
napr
normalnych
s=
xx
+
yy
+
zz
a sum odkszta ce liniowych
e=
xx
+
yy
+
zz
e
s
,
3K
(3)
gdzie K = E/3(1- 2 ) - modu ci liwo ci obj to ciowej materia u spr ystego.
Na podstawie uk adu równa (1) mo na wyrazi napr enia przez odkszta cenia:
xx
2G
xy
xx
e
1 2
xy
,
,
yy
2G
yz
yy
e
1 2
yz
,
,
zz
2G
zz
e
1 2
zx
,
G
G
=
D
zx
G
lub w postaci macierzowej
gdzie
i dane s wzorami
x
y
z
xy
yz
z x
x
y
z
,
xy
yz
zx
a macierz
D,
nazywana macierz spr ysto ci ma posta :

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin