Definicja macierzy odwrotnej
Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia.Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi AB=BA=I, gdzie I jest macierzą jednostkową.
Cramera
Jeżeli układ n rozwiązań o n niewiadomych An x n X n x 1 = B n x 1, spełnia warunek: detA≠0 to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami Crammera: Xj=detA xj / detA, j=1,…,n, gdzie A x j są macierzami utworzonymi z mac A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Kroneckera
1)Układ A m x n X n x 1 = B m x 1 ma rozwiązanie <=> rząd A=rząd[A|B], przyczym jeśli rząd A=l ≤ min{m,n} to rozwiązanie zależy od k=n-l parametrów (n-l. niewiad.; l-rząd) (układ jest sprzeczny)
2)układ nie posiada rozwiązań (jest sprzeczny) <=> rządA≠rząd[A|B]
Liniowa niezależność
Układ wektorów(v1,…vn) p.w.V nad ciałem R nazywamy liniowo niezależnym, gdy zachodzi implikacja: α1v1+..+αnvn=0 ->α1=αn=0
Kombinacja wektorowa:
Niech v1,…vn będą elementami przestrzeni liniowej V, a α1,..,αn elementami ciała. Wektorw jest kombinacją liniową tych wektorów , gdy: i=1nαivi
Funkcja wzajemnie jednoznaczna wtedy gdy taka finkcja jest jednocześnie „na” i różnowartościowa, czyli: każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden element obrazu każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jedne element przeciw obrazu.
Rząd macierzy:
Rzędną mac A=[a i j ] m x n nazywamy najwyższy stopień niezerowego wyznacznika wyjętego z tej macierzy, oznaczamy rządA
Własności wyznacznika
1) jeśli kwadratowa detA=detA^T 2) jeżeli mac A ma wiersz/kol złożoną z samych zer to detA=0 3)jeżeli A ma dwa identyczne w/k to detA=0 4) jeżeli w/k mac A pomnożymy przec c€R, to c*detA
Własności u x v
1) Ortagonalny do u i v
2) U i v niezerowe a u x v = 0, to u i v są równoległe
3) u x v ≠ v x u
Zastosowanie: można sprawdzić czy wektory są równoległe, pozwala policzyć wektor prostopadły do dwóch wektorów, pole równoległoboku |a x b|=P
Własności u*v
1)u*v=v*u 2)(a*u)*v=a(u*v) 3)u*u=0<=>u=0 4)prostopadłe gdy u*v=0 zastosowanie: pozwala określicz czy wektory są prostopadłe, można obliczyć kąt między wektorami cos(a,b)=a*b/|a||b|
Iloczyn mieszany
Określa czy wektory są komplanarne a*(b x c)=0; objętość równoległościanu
michael5262