sciagam.odt

1.

Permutacje bez powtórzeń

Permutacje z powtórzeniami

gdzie: ni – liczba powtórzeń i-tego elementu

Wariacje bez powtórzeń

Wariacje z powtórzeniami

Kombinacje bez powtórzeń

Kombinacje z powtórzeniami

2. Modele przestrzeni propabilistycznej

a) Zbiór zdarzeń elementarnych Ω, gdzie  Ω={w1,...,wn} – zbiór skończony

b) Ω = {w1,w2,...,wn,...} - zbiór nieskończony przeliczalny

Przykład

D = {klient przy okienku w banku}

wi = {liczba klientów przy okienku}, i = 0,1,2,3,...,n,

Ω = {w1,w2,...,wn,...}

c)  Ω = {wx,x € [0,1]} – zbiór zdarzeń nieskończony nieprzeliczalny

Przykład

D = {czas do pierwszego uszkodzenia komputera}

w(t) = {t,t >= 0 czas do pierwszego uszkodzenia}

D – doświadczenie losowe

wi – zdarzenie elementarne

Ω – zbiór zdarzeń elementarnych

3. Klasyczna metoda obliczenia prawdopodobieństwa

Niech {Ω,F,P} – przestrzeń propabilistyczna, która spełnia następujące warunki:

a)  Ω = {w1,...,wn} – zbiór skończony

b) P{w1} = P{w2} = … = P{wn} = 1/n

Wówczas dla V A € F, gdzie A = {wn1,wn2,...,wnm} jest zbiorem „m” zdarzeń elementarnych, mamy P(A) = m/n

gdzie: m – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A

            n – ogólna liczba zdarzeń elementarnych w  Ω.

4. Geometrzyczne metody obliczania prawdopodobieństwa

a) jednowymiarowe

V A € F ↔ [α,β] → M(A) = ( β -  α) – miarą jednowymiarowych zbiorów jest odcinek

b) dwuwymiarowe

M(A) = S – miarą dwuwymiarowych zbiorów jest pole powierzchni

c) trójwymiarowe

M(A) = VA – miarą trójwymiarowych zbiorów jest objętość

gdzie: M(Ai) – miara Ai, M( Ω) – miara  Ω

A – zdarzenie losowe

F – algebra (rodzina) wszystkich podzbiorów  Ω

5. Metody doświadczalne obliczania prawdopodobieństwa.

Częstość wystąpienia zdarzenia losowego A

m – liczba wystąpień zdarzenia A

n – ogólna liczba prowadzonych doświadczeń

6. Prawdopodobieństwo warunkowe i sposoby jego obliczania(klasyczne, geometryczne, doswiadczalne).

7. Warunkowe prawdopodobieństwo.

Dwa dowolne zdarzenia A,B € F są niezależne, jeżeli spełnione są warunki:

Jeżeli A i B są niezależne to:

{A1,...,An} są zdarzeniami wzajemnie niezależnymi, jeżeli:

Jeżeli jest spełnione dla k=2 to zdarzenia {A1,...,An} są niezależne parami.

8. Metoda Bayesa.

H – hipoteza

P(H) – prawdopodobieństwo hipotezy H a priori

P(H|A) – prawdopodobieństwo hipotezy H a posteriori

9. Schemat Bernouliego.

n – liczba eksperymentów

Rn – prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego sukcesu

m* - najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów

p -  prawdopodobieństwo sukcesu

q – prawdopodobieństwo porażki

10. Dyskretne zmienne losowe + tabela rozkladu.

Dystrybuanta F(x), x € (-ns,+ns) zmiennej losowej

11. Typowe rozklady zmiennych losowych dyskretnych (jednopunktowy, dwupunktowy, Bernouliego) + tabele rozkladu.

X(w) – zmienna losowa

a) jednopunktowy rozkład

gdzie: P{X(w)=a} = 1, a – liczba rzeczywista

b) dwupunktowy rozkład

gdzie: P{X(w)=0} = p; P{X(w)=1} = q, p i q – nieujemne liczby rzeczywiste (p+q=1)

c) rozkład Bernoulliego

d) rozkład Poissona

12. Momenty zwykłe i centralne.

Moment zwykły rzędu k (k=1,2,...)

Moment centralny rzędu k

p – funkcja prawdopodobieństwa

f – funkcja gęstości

E(X) – wartośc oczekiwana

X – zmienna losowa

14. Typowe rozkłady zmiennych losowych ciągłych.

a) rozkład jednostajny (równomierny) standardowy

b) rozkład jednostajny dowolny

c) rozkład normalny (Gaussa)

N(a,σ), gdzie: a – wartość oczekiwana,  σ – odchylenie standardowe,

σ2 – wariancja (dyspersja)

a) N(0,1) – rozkład standardowy

b) N(a, σ) – rozkład normalny w ogólnej postaci

d) rozkład wykładniczy

15. Charakterystyki zmiennych losowych ciągłych.

a) wartość oczekiwana

b) wariancja

V(X)

c) odczylenie standardowe

d) moment zwykły rzędu k (k=1,2,...)

e) rozkład Bernoulliego

f) rozkład Poissona

16. Własności momentów.

a) własności E(X)

b) własności V(X)

17. Zmienne losowe dwuwymiarowe.