Zadanie
Dany jest układ regulacji automatycznej, przedstawiony na rysunku:
Wyznaczyć numeryczne rozwiązanie odpowiedzi układu y(t) na wymuszenie: x(t) = 1(t) stosując czteropunktową metodę Runge – Kutta. Przyjąć warunki początkowe: y(0) = 0; y’(0)= y’’(0) = 0. Dane:
Rozwiązanie
przy czym (dla przykładu):
a = 5
b = 6
c = 13
warunki początkowe: y(0) = 0; y’(0)= y’’(0) = 0.
1.) Upraszczamy schemat blokowy.
a) wyznaczamy transmitancję układu otwartego K(s)
K(s) = GR(s) ∙ G0(s)
K(s) = ∙ = =
K(s) = =
b) wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego GZ(s)
GZ(s) =
GZ(s) = =
2.) Korzystając z ogólnego wzoru na transformację operatorową, możemy zapisać
GZ(s)
Y(s) = GZ(s) ∙ X(s)
Y(s) =
s3 ∙ Y(s) + 7s2 ∙ Y(s) + 7s ∙ Y(s) + 66 ∙ Y(s) = 65 ∙ X(s)
3.) Stosując wzory na transformację odwrotną otrzymujemy
y’’’(t) + 7 ∙ y’’(t) +7 ∙ y’(t) + 66 ∙ y(t) = 65 ∙ x(t)
z transformat pochodnych mamy
L[y] = Y(s)
L[y’] = s ∙ Y(s) –y(0)
L[y’’] = s2 ∙ Y(s) –s ∙ y(0) – y’(0)
L[y’] = s3 ∙ Y(s) – s2 ∙ y(0) – s ∙ y’ (0) – y’’(0)
y’’’(t) + 7 ∙ y’’(t) +7 ∙ y’(t) + 66 ∙ y(t) = 65 ∙ 1(t)
4.) Podstawiamy nową zmienną x = y’, otrzymując zamiast równania różniczkowego III rzędu układ dwóch równań I i II rzędu.
y’ = x
x’’ + 7 ∙ x’ +7 ∙ x + 66 ∙ y = 65
Podstawiamy nową zmienną z =x’
y’’ = x’ –z
z2 + 7 ∙ z + 7 ∙ x + 66 ∙ y = 65
x’ = z
z’ = 65 – 7 ∙ z – 7 ∙ x – 66 ∙ y
5. Wyznaczamy kolejne współczynniki czteropunktowej metody Runge – Kutta.
y K1 = h ∙ xk
x M1 = h ∙ zk
z N1 = h · (65 - 7 ∙ z – 7 ∙ x – 66 ∙ y)
K2 = h ∙ (xk + )
M2 = h ∙ (zk + )
N2 = h ∙ [65 – 7 ∙ (zk + ) -7 ∙ (xk + ) – 66 ∙ (yk + )]
K3 = h ∙ (xk + )
M3 = h ∙ (zk + )
N3 = h ∙ [65 – 7 ∙ (zk + ) -7 ∙ (xk + ) – 66 ∙ (yk + )]
K4 = h ∙ (xk + M3)
M4 = h ∙ (zk + N3)
N4 = h ∙ [65 – 7 ∙ (zk + N3) -7 ∙ (xk + M3) – 66 ∙ (yk + K3)]
6. Obliczone współczynniki wstawiamy do wzorów.
yk+1 = yk + (K1 + 2 K2 + 2K3 + K4)
xk+1 = xk + (M1 + 2 M2 + 2M3 + M4)
zk+1 = zk + (N1 + 2 N2 + 2N3 + N4)
2
Automation_Engineering