WYKŁADY.docx

Trygonometria sferyczna

              Sfera – powierzchnia kuli, zbiór punktów równoodległych (długość promienia R) od jednego punktu (środek sfery).

              Koło wielkie – ślad przecięcia sfery płaszczyzną przechodzącą przez jej środek.

              Trójkąt sferyczny – powstaje w wyniku przecięcia się trzech kół wielkich.

              Trójkąt biegunowy – wierzchołki trójkąta sferycznego są biegunami boków trójkąta biegunowego i odwrotnie.

a=A', b=B', c=C', A=a', B=b', C=c'

              Wzór sinusowy:

sinasinA=sinbsinB=sincsinC

              Wzory cosinusowe:

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA

cosb=cosacosc+sinasinccosB

cosc=cosacosb+sinasinbcosC

              Wzory sinusowo-cosinusowe:

sinacosB=cosbsinc-sinbcosccosA

              Nadmiar sferyczny (eksces) – suma kątów trójkąta sferycznego, pomniejszona o 180o:

ε=A+B+C-180o

Zależność między nadmiarem sferycznym a polem S trójkąta sferycznego

              Rozważmy trójkąt sferyczny ABC leżący na sferze o promieniu R. Pole dwukąta sferycznego ABA'C jest proporcjonalne do pola P całej sfery oraz wielkości kąta A:

PA=PA2π

[rys.]

              Podobnie przedstawiamy pola dwóch pozostałych dwukątów – BCB'A i CAC'B:

PB=PB2π
PC=PC2π

              Po zsumowaniu pól PA, PB i PC otrzymamy:

PA+PB+PC=P2πA+B+C

a ponieważ P=4πR2, tak więc:

PA+PB+PC=2πR2A+B+C

              Suma PA, PB i PC jest równa połowie pola sfery, powiększonego o wielkość podwójnego pola S trójkąta ABC, czyli:

PA+PB+PC=2πR2+2S

zachodzi więc zależność:

2R2A+B+C=2πR2+2S

skąd otrzymamy:

A+B+C-π=SR2

ostatecznie:

ε=SR2

              Pole trójkąta sferycznego eulerowskiego jest zawsze mniejsze od połowy pola sfery, zatem:

0<ε<2π

W przypadku trójkątów sferycznych o bokach kilkudziesięciokilometrowych, leżących na sferze o promieniu R=6371 km, można stosować wzór uproszczony:

ε=ab2R2sinC

gdzie: a, b są wyrażone w jednostkach długości. Wzór ten zapewnia dokładność 1''∙10-4 dla trójkątów o bokach 30 km i 1''∙10-3 dla trójkątów o bokach 50 km. W poniższej tabeli podano nadmiary sferyczne ε trójkątów równobocznych, leżących na sferze o promieniu R=6371 km:

Wyrównanie kątów w trójkącie sferycznym

              Po obliczeniu nadmiaru sferycznego można trójkąt rozwiązać metodą zawarunkowaną.

ε=absinγ2R2ρ=absinγ2MNρ

              Równanie warunkowe przyjmie postać:

α+vα+β+vβ+γ+vγ=180o+ε

stąd:

vα+vβ+vγ+α+β+γ-180o+ε=0

gdzie:

α+β+γ-180o+ε=ω

ω – wyraz wolny w równaniu warunkowym

α, β, γ – kąty pomierzone A, B, C

vα+vβ+vγ+ω=0

vα+vβ+vγ=-ω

vα=vβ=vγ=-13ω

              Dodając do pomierzonych kątów poprawki, otrzymamy wyrównane kąty w danym trójkącie sferycznym. Kiedy kąty zostaną wyrównane, można przystąpić do obliczenia pozostałych boków trójkąta sferycznego.

              Długości boków trójkąta sferycznego można obliczyć:

-        metodą additamentów (Soldnera)

-        metodą Legendre’a.

Rozwiązywanie małych trójkątów sferycznych

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA

gdy a, b, c w metrach, to:

cosaR=cosbRcoscR+sinbRsincRcosA

gdzie R – promień sfery czy kuli.

Metoda additamentów (Soldnera)

Dane: A, B, C, a

Szukane: b, c

sinbR=sinaRsinBsinA

Wprowadzamy w szereg:

bR-b36R3=aR-a36R3sinBsinA /∙R

...