Cwicz-alg-grupy-1.pdf

(71 KB) Pobierz
Grupy – ćwiczenie 1
1.
Sprawdzić, że zbiór
M
macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy.
M
=
1
x
0 1
:
x
∈
Z
,
M
=
1 +
a
−a
a
1
−
a
:
a
∈
Z
.
2.
Zapisz tabelę operacji dla grupy symetrii prostokąta, który nie jest kwadratem. (V
4
– grupa czwórkowa Kleina)
3.
Znajdź wszystkie podgrupy grupy symetrii kwadratu.
4.
Grupę wszystkich symetrii
n-kąta
foremnego nazywamy grupą diedralną i oznacza-
my
D
n
.
a) Wykaż,że ta grupa jest generowana przez przekształcenia
g, h,
gdzie
g
jest obrotem
n-
kąta o kąt
2π
(w kierunku dodatnim), a
h
jest odbiciem symetrycznym względem
n
osi przechodzącej przez wierzchołek 1 i środek wielokąta.
b) Wykaż, że w grupie
D
4
jest
gh
=
hg
−1
(stąd
g
r
h
=
hg
−r
dla
r
∈
N)
i sporządź
tabelę grupy
D
4
.
c)
D
n
=
{e,
g, g
2
, . . . , h, gh, g
h
, . . . , h, g
n−1
h}
5.
Udowodnić, że pierwiastki zespolone stopnia
n
z 1 tworzą grupę. Pokazać, że jest
to grupa cykliczna, i znaleźć wszystkie generatory tej grupy.
6.
Znajdź podgrupę (A) grupy
GL
2
(R) generowaną przez macierz
√
A
=
Wyznacz wszystkie podgrupy tej grupy.
7.
Niech
n
∈
N
i niech
3
2
1
2
−
1
√
2
3
2
Φ(n) =
{k ∈
Z
n
: nwd(k,
n)
= 1}.
Udowodnić, że zbiór Φ(n) jest grupą względem mnożenia modulo
n.
Zbudować tabelki
działań w grupach Φ(5) i Φ(12).
8.
Znajdź wszystkie podgrupy grupy Φ(8).
9.
Utworzyć tabelkę działania w podanej grupie: a)
Z
2
×
Z
2
; b)
{−1,
1}
×
Z
3
.
10.
Znajdź wszystkie podgrupy grupy
Z
3
×
Z
3
.
11.
Sprawdzić, że dana funkcja
ϕ
jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć jądro i obraz
tego homomorfizmu:
a)
ϕ
:
C
∗
→
C
∗
,
ϕ(z)
=
z
m
,
m
∈
N;
b)
ϕ
:
R
+
→
R,
ϕ(a)
= log
a;
c)
ϕ
:
Z
→
Z
n
,
ϕ(a)
= (a)
n
;
W zad. d,e M(2,
R)
jest grupą macierzy stopnia 2 z dodawaniem.
d)
ϕ
: M(2,
R)
→
R,
ϕ(A)
= trA
e)
ϕ
: M(2,
R)
→
M(2,
R)
ϕ(A)
=
A
T
.
12.
Zbiór
M
macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykazać, że grupa
ta jest izomorficzna z grupą addytywną
Z:
M
=
1
x
0 1
:
x
∈
Z
,
M
=
1 +
a
−a
a
1
−
a
:
a
∈
Z
.
Zadanie domowe.
W.J.Gilbert, W.K.Nicholson,
Algebra współczesna z zastosowaniami:
3.3, 3.10, 3.13, 3.25, 3.41-3.44

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin