Matematyka-Defnicja i przyklady funkcji.pdf
(
152 KB
)
Pobierz
Elementyrachunkuró»niczkowegoicaªkowego
1 Denicjaiprzykªadyfunkcji
Denicja:
Ka»dejednoznaczneprzyporz¡dkowanie
f
elementomzbioru
X
elemen-
tówzbioru
Y
nazywamyfunkcj¡okre±lon¡nazbiorze
X
.
(Zapis:
f
:
X
!
Y
.)
Zbiór
X
nazywamydziedzin¡funkcji(ozn.
D
f
),azbiór
Y
przeciwdziedzin¡.Zbio-
rem warto±ci funkcji (ozn.
V
f
) nazywamy zbiór tych elementów nale»¡cych do
Y
,
którezostaªyprzyporz¡dkowanepewnymelementomzbioru
X
.
Wykresem funkcji
f
:
X
!
Y
nazywamy podzbiór iloczynu kartezja«skiego
X
Y
postaci:
W
f
=
f
(
x;f
(
x
))
2
X
Y
:
x
2
X
g
:
Zbiór
W
f
jako podzbiór iloczynu kartezja«skiego
X
Y
mo»e by¢ traktowany
jakorelacja.Ka»dafunkcjaprzeksztaªaj¡cazbiór
X
w
Y
jestrelacj¡pomi¦dzyele-
mentami zbioru
X
i zbioru
Y
. Odwrotnie, relacja
W
X
Y
jest funkcj¡ je±li
pierwszeelementyparnale»¡cychdo
W
s¡ró»ne.
Przykªady
:
1. Relacja:
W
=
f
(1
;
3)
;
(2
;
2)
;
(3
;
3)
;
(4
;
1)
g
jestfunkcj¡;
W
0
=
f
(1
;
3)
;
(2
;
2)
;
(3
;
3)
;
(4
;
1)
;
(2
;
3)
;
(4
;
2)
g
niejestfunkcj¡.
2. Funkcjaliniowa
f
(
x
)=
ax
+
b
,gdzie
a
6
=0.Dziedzin¡izbioremwarto±citej
funkcjijestzbiórliczbrzeczywistych
R
3. Funkcjewielomianowe
f
(
x
)=
a
n
x
n
+
a
n
1
x
n
1
+
:::
+
a
1
x
+
a
0
,gdzie
n
1i
a
n
6
=0.Dziedzin¡ka»dejfunkcjiwielomianowejjestzbiórliczbrzeczywistych.
Gdystopie«wielomianujestliczb¡nieparzyst¡,tozbioremwarto±cijestcaªy
zbiór rzeczywistych, gdy stopie« wielomianu jest liczb¡ parzyst¡, to zbiorem
warto±cijestpewienprzedziaªzjednejstronyniesko«czony.
1
f
(
x
)=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d f
(
x
)=
ax
4
+
bx
3
+
cx
2
+
dx
+
e
4. Funkcjewymierne
f
(
x
)=
p
(
x
)
q
(
x
)
,gdzie
p
(
x
)
; q
(
x
)s¡funkcjamiwielomianowy-
mi.Dziedzin¡takiejfunkcjijestzbiórwszystkichliczb,dlaktórych
q
(
x
)
6
=0.
f
(
x
)=
ax
3
+
bx
x
2
+
c
2
x
x
2
a
2
f
(
x
)=
p
5. Funkcje pierwiastkowe
f
(
x
)=
n
x
. Je±li
n
jest liczb¡ naturaln¡, parzyst¡ to
dziedzinaizbiórwarto±cis¡równe[0
;
1
),wprzeciwnymwypadkudziedzin¡
izbioremwarto±cijestzbiórliczbrzeczywistych.
2
6. Funkcja wykªadnicza
f
(
x
) =
a
x
gdzie
a >
0 i
a
6
= 1. Dziedzin¡ jest zbiór
wszystkichliczbrzeczywistych,azbioremwarto±cijestprzedziaª(0
;
1
).
7. Funkcja logarytmiczna
f
(
x
) = log
a
x
, gdzie
a >
0 i
a
6
= 1. Dziedzin¡ jest
przedziaª(0
;
1
),azbioremwarto±ci{zbiórwszystkichliczbrzeczywistych.
3
8. Funkcjetrygonometryczne
f
(
x
)=sin
x
i
f
(
x
)=cos
x
.
Dziedzin¡obufunkcjijestzbiórliczbrzeczywistych,azbioremwarto±ci{prze-
dziaª[
1
;
1].
f
(
x
)=sin
x
f
(
x
)=cos
x
9. Funkcja
f
(
x
)=tg
x
Dziedzin¡funkcjijestzbiórliczbrzeczywistych ró»nych
od
=
2+
k
(gdzie
k
jestdowoln¡liczb¡caªkowit¡),azbioremwarto±ci{zbiór
wszystkichliczbrzeczywistych.
10. Funkcja
f
(
x
)=ctg
x
.
Dziedzin¡ funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ró»nych od
k
(gdzie
k
jest
dowoln¡liczb¡caªkowit¡),azbioremwarto±ci{zbiórwszystkichliczbrzeczy-
wistych.
4
11. Funkcjapodatkowa(Polska)
8
<
0
dla 0
¬
x
¬
p
0
0
;
19
x
c
0
dla
p
0
<x
¬
p
1
T
(
x
)=
0
;
30
(
x
p
1
)+
c
1
dla
p
1
<x
¬
p
2
:
0
;
40
(
x
p
2
)+
c
2
dla
p
2
<x
gdzie
p
0
=2295
;
80
c
0
=436
;
20
p
1
=32736
;
00
c
1
=5783
;
64
p
2
=65472
;
00
c
2
=15604
;
44
Krzywapodatkowa(wykresfunkcjipodatkowej)
12. Funkcjewieluzmiennych:
Funkcjaliniowa
f
(
x
1
;:::;x
n
)=
a
1
x
1
+
+
a
n
x
n
+
b
Dziedzina:
D
f
=
R
n
Przeciwdziedzina:
V
f
=
R
.
FunkcjaprodukcjiCobba-Douglasa:
F
(
x;y
)=
x
a
y
b
;
gdzie
a;b
s"austalonymiliczbamirzeczywistymidodatnimii
a
+
b
=1
D
F
=[0
;
1
)
[0
;
1
) Przeciwdziedzina:
V
f
=[0
;
1
).
2 Wªasno±cifunkcji:
1. Mówimy,»efunkcja
f
jest
ró»nowarto±ciowa
wzbiorze
A
D
f
:je±li
x
1
6
=
x
2
poci¡ga
f
(
x
1
)
6
=
f
(
x
2
),dlawszystkich
x
1
; x
2
nale»¡cychdo
A
.
2. Mówimy,»efunkcja
f
jest
niemalej¡ca
wzbiorze
A
D
f
,je±li
x
1
<x
2
poci¡ga
f
(
x
1
)
¬
f
(
x
2
),dlawszystkich
x
1
; x
2
nale»¡cychdo
A
.
5
Plik z chomika:
Alazet
Inne pliki z tego folderu:
Mathematics-Algebra-other book.rar
(8896 KB)
Algebraic Topology.rar
(50042 KB)
Abstract Algebra - The Basic Graduate Year.rar
(6060 KB)
A Course In Commutative Algebra.rar
(3086 KB)
A Course In Algebraic Number Theory.rar
(2816 KB)
Inne foldery tego chomika:
Elektronika
Elektrotechnika
Fizyka
Graficzny zapis konstrukcji
Informatyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin