analiza-zadania.pdf

(102 KB) Pobierz
ZADANIA Z MATEMATYKI; LOGISTYKA I ZARZĄDZANIE (ZAOCZNE)
Zadanie 1.
Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, że dla dowolnej liczby natu-
ralnej
n
(1) liczba
n
3
+ 5n jest podzielna przez 6,
2
3
(2) liczba
n
+
n
+
n
jest liczbą naturalną,
3
2
6
Zadanie 2.
Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, że
n(n
+ 1)
(a)
1 + 2 + 3 +
···
+
n
=
,
2
(b)
(c)
(d)
n
2
(n + 1)
2
1 + 2 + 3 +
···
+
n
=
,
4
3
3
3
3
1
1
n(n
+ 3)
1
+
+
···
+
=
,
1
·
2
·
3 2
·
3
·
4
n(n
+ 1)(n + 2)
4(n + 1)(n + 2)
1
3
> ,
dla
n
2n
5
3,
1
1
+
+
···
+
n
+1
n
+2
Zadanie 3.
Rozwiązać równania:
3
6
4
(a)
−
=
5x + 2
x
−
2
3
−
x
4
2
(c) 3x
−
x
−
2 = 0
(b)
3
−
x
15
−
x
+
2
=0
x
+ 3
x
+ 3x
(d) 2x
6
−
11x
3
−
40 = 0.
Zadanie 4.
Rozwiąż nierówności:
2x
−
1
>
0,
x
+5
x
+2
<
−1,
x
2
−
x
−
2
(2x
2
−
x
−
1)(6
−
5x
−
x
2
)
>
0,
(3x
2
+
x
−
2)(x
2
−
x)
0,
(3x
−
2)(x
2
−
x
+ 1)
(4x
2
−
4x + 1)(2
−
x
−
x
2
)
0,
(x
2
−
4)(x + 3)
(b)
|2x
+ 1| =
|x −
1| + 2
(d)
|x −
1|
2x
−
1
(f)
|4 −
x|
+ 2|x + 1|
>
|x|
+ 2x + 2.
Zadanie 5.
Rozwiązać równania lub nierówności:
(a)
|2x −
4| = 3x
−
1
(c)
|2x −
2| +
|x|
= 3x
−
2,
(e)
|x −
3|
<
|x|
+ 2
Zadanie 6.
Znaleźć iloczyn
A
∩
B,
jeśli:
(a)
A
=
{−1, −2, −3,
0},
B
=
{x ∈
R
:
x(x
+ 1)(x + 2) = 0},
1
(b)
A
=
{x ∈
R
: 2
−x
<
4},
B
=
{x ∈
R
:
x
2 4
},
1
(c)
A
=
{x ∈
R
:
−
x
<
0},
B
=
{x ∈
R
:
x
2
−
1 = 0
∨
x
= 0},
2x
(d)
A
=
{x ∈
R
:
−
x
−
x
2
0},
B
=
{x ∈
R
:
x
2
−4
0},
(e)
A
=
{x ∈
R
: sin
x
=
1
∧
x
∈
[0,
π]}, B
=
{x ∈
R
:
−
x
2
0}.
2
1
2
ZADANIA Z MATEMATYKI; LOGISTYKA I ZARZĄDZANIE (ZAOCZNE)
Zadanie 7.
Znaleźć różnicę
A
\
B,
jeśli:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
A
=
N,
B
=
{x ∈
R
:
x
4},
A
=
{x ∈
R
:
x
2
+
x
0},
B
=
{x ∈
R
:
x
0},
1
A
=
{x ∈
R
: 1
−
x
>
0},
B
=
{x ∈
R
:
x
0},
A
= [0, 2],
B
= (1, 3],
A
=
{x ∈
R
: log
x >
0},
B
=
{x ∈
R
: (
1
)
x
1}.
2
A
=
{x ∈
R
: log(−x) 0},
B
=
{x ∈
R
:
x
2
−
1 = 0
∧
x
= 1}.
Zadanie 8.
Znaleźć sumę
A
∪
B,
jeśli:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
A
=
{1,
2, 4},
B
=
{2,
4, 5},
A
=
{1,
3},
B
=
{3,
1},
A
=
{x ∈
R
:
x
2
−
1
<
0},
B
=
{x ∈
R
:
x
2
−
4 0},
x
x
A
=
{x ∈
R
:
x−1
<
0},
B
=
{x ∈
R
:
x+1
>
0
∧
x >
0},
1
A
=
{x ∈
R
:
x
+
x
0},
B
=
{x ∈
R
:
xt
2
+
t
−
1
<
0 dla każdego
t
∈
R},
A
=
{x ∈
R
: sin
2
x <
1},
B
=
{x ∈
R
: sin
2
x
1},
A
=
{x ∈
R
: tg
x <
0
∧
x
∈
(−
π
,
0)},
B
=
{x ∈
R
: ctg
x >
0
∧
x
∈
(0,
π
)}.
2
2
Zadanie 9.
Obliczyć granice ciągów:
(a) lim
(c) lim
2
n
n
n→∞
+
+
3
n
+ 5
n+1
3
n+1
5
n−1
;
√
3
3n
3
+ 1
(b) lim
√
n→∞
2n
2
+ 1
(d) lim
n( n
2
+ 1
−
n)
n→∞
n→∞
2n
3
−
1
Zadanie 10.
Obliczyć granice ciągów:
2n
2
−
3n + 1
(a) lim
n→∞
5n
3
+ 4n
−
1
(d) lim
n→∞
n
2
+
n
(g) lim
n→∞
n
+ 4
3
n
+ 5
(j) lim
n+1
n→∞
3
−
4
1
nπ
(ł) lim cos
n→∞
n
6
√
3
9n
2
+ 1
n
2
+ 4
4n
3
−
7n + 2
(b) lim
n→∞
2n
3
−
3n + 5
√
√
(e) lim (
n
+ 1
−
n)
n→∞
3n
4
+ 1
(c) lim
n→∞
5n
3
−
2n + 5
√
n
2
+ 1
(f) lim
√
,
n→∞
3
n
3
−
1
(i) lim ( 4n
2
+ 5n
−
2
−
2n),
n→∞
(h) lim ( 1
−
n
3
+
n)
n→∞
3
(k) lim
(n + 2)! + (n + 1)!
n→∞
(n + 3)!
−
(n + 2)!
n→∞
(l) lim
√
n
n→∞
2
n
+ 3
n
+ 5
n
,
n
2
+ 3n + 2
n
2
+ 2n
3n+1
(m) lim
3n
−
5
3n + 7
2n+5
(n) lim
n→∞
.
ZADANIA Z MATEMATYKI; LOGISTYKA I ZARZĄDZANIE (ZAOCZNE)
3
Zadanie 11.
Zbadać zbieżność następujących szeregów:
1
(a)
(2n + 1)!
n=1
(n + 1)!
(d)
2
n
n!
n=1
1
√
(g)
4n
−
1
n=1
n
√
(j)
n
2
−
1
n=1
∞
∞
∞
∞
∞
n!
(b)
5
n
n=1
3
2n+1
(e)
2
3n−1
n=1
1
√
(h)
n
2
+
n
n=1
1
√
(k)
n
3
+
n
n=1
2
∞
∞
∞
∞
(c)
1
2
n
n
n
n=1
∞
∞
(n + 1)5
n+1
(f)
2
n−1
3
n
n=1
∞
(i)
n=1
∞
n
+1
n
n
3
(l)
e
n
n=1
n
2
∞
(ł)
n=1
∞
1 +
n
2
1 +
n
3
1
(m)
3
n
n=1
∞
∞
n
+1
n
(n)
(r)
n=1
√
√
(
n
−
n
−
1)
arc tg
1
n
2
n
2
+ 1
(o)
n
3
n=1
(p)
1
n
sin
2
n
n=1
n=1
∞
Zadanie 12.
Jaka jest dziedzina funkcji
f
zadanej wzorem:
(a)
f
(x) =
x
+1
2
x
x−2
−
1
(b)
f
(x) =
x
−
x
3
(c)
f
(x) = (x
2
−
3x + 2)
2
+ (3
−
2x
−
x
2
)
−
2
(f)
f
(x) = log(x + 1) +
x
2
−
3x + 2
1
−
x
1
2
1
1
(d)
f
(x) = log
x
2
−3
(x
2
+ 2x + 3)
ctg
x
(e)
f
(x) =
1
−
ctg
x
,
(g)
f
(x) = log(1
−
log(x
2
−
5x + 6)) (h)
f
(x) = log(sin
x),
(i)
f
(x) = sin(log
x).
Zadanie 13.
Obliczyć następujące granice:
x
2
−
4
(a) lim
x→2
x
−
2
sin 3x
(d) lim
x→0
5x
(g) lim
x→∞
1
27
(b) lim
−
3
x→3
x
−
3
x
−
27
tg 2x
(e) lim
x→0
7x
2x+1
x
−
1
−
2
x→5
x
−
5
√
1
−
1
−
x
(f) lim
x→0
sin 4x
(c) lim
2
x
−
1
(i) lim
x→0
x
√
x
−
3
x
+2
(h) lim
x
2
x→∞
+1
x
2
−
1
x
2
Zadanie 14.
Uzasdanić że poniższe równania mają pierwiastek we wskazanych przedziałach:
(a)
√
2 2
π
cos
x
=
x,
w przedziale 0,
,
π
2
(b)
e
2x
2
+x
−
2
= 0, w przedziale
x
1
,
1
.
2
Zadanie 15.
Obliczyć pochodne funkcji:
4
ZADANIA Z MATEMATYKI; LOGISTYKA I ZARZĄDZANIE (ZAOCZNE)
(a)
f
(x) = ln
4
cos
x
(d)
f
(x) = sin
2
(g)
f
(x) =
x
x
1
1
−
x
(b)
f
(x) = ln
2
x
+ ln
x
2
(e)
f
(x) = arc sin
2x
1 +
x
2
1
(c)
f
(x) = tg
4
x
4
(f)
f
(x) = cos
x
1 + sin
2
x
√
3
(i)
f
(x) =
x
5
ln
x.
(h)
f
(x) = sin
x
cos
x
Zadanie 16.
Znaleźć równania stycznych do wykresu funkcji:
x
(b)
f
(x) =
x
1 +
x
2
(a)
f
(x) =
x
e
w puntach o odciętych
x
= 0,
x
= 1 oraz
x
=
−1.
Zadanie 17.
W jakim punkcie krzywej logarytmicznej
y
= ln
x
styczna jest równoległa do
prostej
y
= 2x.
Zadanie 18.
Zbadać monotoniczność funkcji:
(a)
f
(x) =
x
−
2x
−
5
(d)
f
(x) =
xe
−
x
2
2
4
2
1
−
x
+
x
2
(b)
f
(x) =
1 +
x
+
x
2
√
(e)
f
(x) =
x
ln
x
(c)
f
(x) = 2 sin
x
+ cos 2x
(f)
f
(x) =
1
−
x
.
1+
x
Zadanie 19.
Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a)
f
(x) =
x
−
ln(1 +
x)
(d)
f
(x) =
x
2
e
x
1
3x
2
+ 4x + 4
(b)
f
(x) =
1 +
x
+
x
2
ln
x
(e)
f
(x) =
x
(c)
f
(x) =
x
−
ln(1 +
x
2
)
(f)
f
(x) = sin
x
−
ln sin
x.
Zadanie 20.
Wykazać, że równanie
x
3
−
3x
2
+ 6x
−
1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek
rzeczywisty należący do przedziału (0, 1).
Zadanie 21.
Wykazać, że równanie
x
4
+ 3x
2
−
x
−
2 = 0 ma dokładnie dwa pierwiastki
rzeczywiste, z których jeden należy do przedziału (−1, 0), a drugi do przedziału (0, 1).
Zadanie 22.
Zbadać wypukłość i punkty przegięcia funkcji:
(a)
f
(x) =
−x
3
+ 6x
2
−
9x + 4
(c)
f
(x) =
x
2
ln
x
2
(b)
f
(x) =
e
−x
2
(d)
f
(x) = arc sin
1
x
Zadanie 23.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
(a)
f
(x,
y)
= 2x
2
+ 3xy +
y
2
−
2x
−
y
+ 1; (odp.: brak ekstremów)
√
√
√
√
(b)
f
(x,
y)
=
x
4
+
y
4
−
2x
2
+ 4xy
−
2y
2
; (odp.: min. lok. w (− 2, 2) i ( 2,
−
2))
(c)
f
(x,
y)
=
x
3
+
y
2
−
6xy
−
48x; (odp.: min. lok w (8, 24))
5
(d)
f
(x,
y)
=
x
3
+ 3x
2
y
−
6xy
−
3y
2
−
15x
−
15y (odp.: maks. lok. w (0,
−
2
)).
Zadanie 24.
Obliczyć pole obszaru zawwartego między krzywymi:
(a)
y
= 2x
3
oraz
y
2
= 4x;
(b)
y
=
x
2
oraz 2x
−
y
+ 3 = 0;
(c)
yx
= 4 oraz
x
+
y
= 5;
ZADANIA Z MATEMATYKI; LOGISTYKA I ZARZĄDZANIE (ZAOCZNE)
5
Zadanie 25.
Dane są macierze:
A
=
2
−3
−2
3
1 2 3
, B
=
, C
=
,
−1
4
1
−4
0 3 1
1 2
D
=
0
−1
2 1
Sprawdź czy wykonalne są działania, a
(a) 2A +
B, DC
T
, (A +
D)C;
(b) (A
−
B)C, CDE,
(D +
E)C
T
;
(c)
C
T
(A +
D), A
2
+
C, A
+
C
2
.
0
2
−1
3
3
, E
=
1 0 2
.
5
0 3 0
jeśli tak to wykonaj je:
Zadanie 26.
Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
(a)
 
1 1 1
5
−3
11
1 2 3
,
2
−9
5
;
1 3 6
1
−4 −12
(b)
 
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 0 0
1
5
6 7 8
 
2 3 4 1
 
1 1 1 0
 
1
 
 
 
9 10 11 12
,
3 4 1 2
,
0 1 1 1
,
1
13 14 15 16
4 1 2 3
0 0 1 1
1
(c)
 
 
2 1 1 1 1
1 2 3 4 5
0 1 1
1 3 1 1 1
 
5 1 2 3 4
 
1 0 1
 
 
1 1 4 1 1
,
4 5 1 2 3
,
1 1 0
 
 
1 1 1 5 1
 
3 4 5 1 2
 
1 1 1
1 1 1 1 6
2 3 4 5 1
1 1 1
Odpowiedzi
(a): 1; 564. (b): 0; 160;
−1;
12. (c): 394; 1875; 4.
1 1 1
2 3 4
;
4 9 16
8 27 64
1
1
1
0
1
1
1
1
;
1
0
Zadanie 27.
Dla jakich wartości
x
∈
R
zachodzą równości:
(a)
1
1
1
1
1
x
−
1
1
1
=0
det
1
1
x
−
2
1
1
1
1
x
−
3
(b)
1
x x x
x
1
x x
det
x x
1
x
= 0
x x x
1
(c)
1
x x
2
x
3
1
a a
2
a
3
det
1
b b
2
b
3
= 0,
1
c c
2
c
3
gdzie (a
−
b)(b
−
c)(c
−
a)
= 0.
1
Odpowiedzi
(a):
x
= 2,
x
= 3,
x
= 4. (b):
x
= 1,
x
=
−
3
. (c):
x
=
a, x
=
b, x
=
c.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin