Kola2_newelski.pdf

(165 KB) Pobierz
1
KOLOKWIUM 2
1
1.1
Kolokwium 2
Rok akademicki 2009/2010
Zadanie 1.1.1.
(a) (1 pkt) Co to jest centrum
Z(G)
grupy
G
?
Jest to zbiór:
Z(G)
=
{g ∈
G
:
∀x ∈
G, xg
=
gx}
(b) (3 pkt) Ile elementów ma nast¦puj¡cy zbiór warstw podgrupy
(Z, +)
w grupie
(Q, +)
?
{
27
3
2
8
+
Z,
+
Z,
−
+
Z,
+
Z}
6
2
3
6
27
1
=4
6
2
1
2
3
1
=1
6
2
1
2
−
2
2
=1
−
3
3
1
3
8
1
=1
6
3
1
3
Ten zbiór ma 2 elementy poniewa»:
a w warstwie jest to element
a w warstwie jest to element
a w warstwie jest to element
a w warstwie jest to element
Zatem elementami zbioru warstw s¡ elementy ze zbioru:
1
1
{
+
Z,
+
Z,
}
2
3
(c) (3 pkt) Wyznaczy¢ rz¡d elementu
Czyli
26
+
Z
w grupie ilorazowej
(Q, +)/(Z, +)
.
14
26
12
6
+
Z
=1 +
Z
= +
Z
14
14
7
rk
7
·
6
7
=
n
Ale czy istnieje mniejsze?
1
·
2
·
3
·
4
·
5
·
6
·
6
=6
∈
Z
7
6
6
=
∈
Z
/
7
7
6
5
=1
∈
Z
/
7
7
6
4
=2
∈
Z
/
7
7
6
3
=3
∈
Z
/
7
7
6
2
=4
∈
Z
/
7
7
6
1
=5
∈
Z
/
7
7
Zatem rz¡d elementu
26
+
Z
w grupie ilorazowej
(Q, +)/(Z, +)
wynosi 7.
14
1
1.1
Rok akademicki 2009/2010
1
KOLOKWIUM 2
Zadanie 1.1.2.
(a) (3 pkt)Dana jest grupa
G
oraz jej element
g
taki, »e
rk(g)
= 2009
. Udowodni¢, »e istnieje
h
∈
G
takie, »e
h
2
=
g
g
2009
=
e
g
2010
=
g
g
1005
2
=
g
Niech
h
=
g
1005
o
h
wiemy »e
h
∈
G
poniewa» wykonujemy na dziaªanie grupowe na elemencie grupy, zatem
otrzymujemy:
h
2
=
g
(b) (4 pkt)Znale¹¢ permutacj¦
σ
tak¡, »e
σ
2
=
τ
, gdzie
τ
=
iloczynu cykli rozª¡cznych.
σ
=
1 2 3
3 7 6
1
6
2 3 4 5 6 7 8
4 5 7 1 8 2 3
. Zapisa¢
σ
w postaci
4 5 6 7 8
2 8 5 4 1
poniewa»:
σ
2
=
1
3
2
7
3
6
4
2
5
8
6
5
7
4
8
1
1 2 3 4 5
3 7 6 2 8
6 7 8
5 4 1
=
1 2 3 4 5 6 7
6 4 5 7 1 8 2
8
3
=
τ
(c) (3 pkt) Wyznaczy¢ wszystkie klasy sprz¦»enia w grupie
D
3
(wsk: skorzysta¢ z tego, »e
D
3
∼
S
3
)
=
Zaczn¦ od opisania relacji sprz¦»enia:
(x
∼
y)
⇔
((∃f )(f
xf
−1
=
y))
Najpierw rozpatrz¦ grup¦
S
3
.
Je±li chodzi o grupy permutacji to mamy uproszczon¡ spraw¦ poniewa» wiemy »e dwie permutacje s¡
sprz¦»one wtedy gdy maj¡ takiej samej dªugo±ci cykle rozª¡czne.
Czyli rozpatrujemy permutacje które maj¡ nast¦puj¡cy rozkªad na cykle rozª¡czne:
•
111
•
12
•
3
Je±li chodzi o pierwszy porzypadek to mamy tylko jedna tak¡ permutacj¦ i jest ni¡
id
czyli otrzymujemy
klas¦
[id]
∼
=
{id}
Je±li chodzi o drugi przypadek to mamy nast¦puj¡c¡ klas¦:
[(1, 2)]
∼
=
{(1,
2), (1, 3), (2, 3)}
Je±li chodzi o 3 przypadek to otrzymujemy klas¦:
[(1, 2, 3)]
∼
=
{(1,
2, 3), (1, 3, 2)}
Przechodz¡c do grupy
D
3
otzymujemy tak»e 3 klasy sprz¦»enia:
[id]
∼
=
{id}
[S]
∼
=
{S
a
, S
b
, S
c
}
[O]
∼
=
{O
2Π
, O
4Π
}
3
3
Zadanie 1.1.3.
a b
=
e
.
5 5
(a) (3 pkt) O elementach
a
,
b
grupy
G
wiadomo, »e
rk(a)
= 3
i
rk(b)
= 7
. Udowodni¢, »e
Zaªó»my niewprost »e
a
5
b
5
=
e
oraz
rk(a)
= 3
i
rk(b)
= 7
wtedy
a
5
b
5
=
e
a
5
=
b
2
e
=
ab
2
2
1.2
Rok akademicki 2010/2011
1
KOLOKWIUM 2
z tego wynika »e
ale
czyli
a
−1
=
b
2
(a
−1
)
3
=
e
(b
2
)
3
=
e
b
6
=
e
co jest sprzeczne z zaªo»eniem »e
rk(b)
= 7
(b) Niech
G
oznacza grup¦ obrotów pªaszczyzny
R
2
wokóª
O
= 0, 0
(Zatem
G
jest izmorczna z grup¡
SO(2,
R)
i grup¡
S
=
{z ∈
C
:
|z|
= 1}
z mno»eniem). Czy grupa
G
ma podgrup¦
H
izomorczn¡ z grup¡:
(1) (1 pkt)
Z
3
Tak jest to grupa zªozona z obrotów o k¡t
120
◦
,
240
◦
,
360
◦
(2) (1 pkt)
Z
3
×
Z
3
Nie poniewa» grupa G jest grup¡ cykliczn¡ a produkt nie jest
(3) (1 pkt)
Z
2
×
Z
3
Tak s¡ to obroty o
60
◦
,
120
◦
,
180
◦
,
240
◦
,
300
◦
,
360
◦
(4) (2 pkt)
(Z, +)
Tak np.
f
(x) = cos
x
+
i
sin
x
jest izomorzmem miedzy tymi grupami.
1.2
Rok akademicki 2010/2011
Zadanie 1.2.1.
(a) (4 pkt) Które z grup
Z
2
×
Z
30
,
Z
3
×
Z
20
,
Z
5
×
Z
12
,
Z
6
×
Z
10
s¡ izomorczne?
Grupami izomorcznymi s¡ grupy takich samych rz¦dów o elementach takich samych rz¦dów. W naszym
przypadku mamy 4 grupy rzedu 60 ale nie kazda ma elementy rzedu 60.
Z
2
×
Z
30
∼
Z
6
×
Z
10
=
poniewa»:
i
oraz
poniewa»
Z
2
×
Z
30
∼
Z
2
×
Z
3
×
Z
2
×
Z
5
=
Z
6
×
Z
10
∼
Z
2
×
Z
3
×
Z
2
×
Z
5
=
Z
3
×
Z
20
∼
Z
5
×
Z
12
∼
Z
60
=
=
N W W
(3, 20) = 60
N W W
(5, 12) = 60
(b) (3 pkt) Zaªó»my, »e
f
:
G
→
H
jest homomorzmem grup oraz
g, h
∈
G
. Udowodni¢, »e je±li
g
i
h
s¡
sprz¦»one w
G
, to
f
(g)
i
f
(h)
s¡ sprz¦»one w
H
.
Skoro elementy
g, h
s¡ sprz¦»one to
(∃a
∈
G)(aga
−1
=
h)
Wiemy, »e f jest homomorzmem zatem:
f
(aga
−1
) =
f
(h)
∈
H
f
(aga
−1
) =
f
(a)f (g)f (a
−1
) =
f
(a)f (g)f (a)
−1
=
f
(h)
Czyli
f
(g)
i
f
(h)
s¡ sprz¦»one.
(c) (3 pkt) Zaªó»my, »e
f
:
G
→
G
jest automorzmem wewn¦trznym
G
. Udowodni¢, »e
f
−1
te» jest automor-
zmem wewn¦trznym
G
(uwaga: tego, »e
f
−1
jest automorzmem nie trzeba dowodzi¢).
Niech
f
(x) =
gxg
−1
f
nale»y do grupy czyli ma element odwrotny
f
−1
(x)
f
◦
f
−1
(x) =
gf
−1
(x)g
−1
x
=
gf
−1
(x)g
−1
xg
=
gf
−1
(x)
g
−1
xg
=
f
−1
(x)
f
−1
(x) =
g
−1
x(g
−1
)
−1
Zatem
f
−1
(x)
jest automorzmem wewn¦trznym.
3
1.2
Rok akademicki 2010/2011
1
KOLOKWIUM 2
Zadanie 1.2.2.
(a) (3 pkt) W grupie
(Z
32
,
+
32
)
rozwa»amy podgrup¦
H
=
{0,
8, 19, 24}
. Wyznaczy¢ rz¡d
elementu
2 +
H
w grupie ilorazowej
Z
32
/H
Szukamy najmniejszego
n
∈
N
+
speªniaj¡cego warunek:
(2 +
H)
n
=
H
Inaczej zapisuj¡c
n2
+
H
=
H
Sprawdzam po koleji:
n
=1
2 +
H
=
{2,
10, 18, 26} =
H
n
=2
4 +
H
=
{4,
12, 20, 28} =
H
n
=3
6 +
H
=
{6,
14, 22, 30} =
H
n
=4
8 +
H
=
{8,
16, 24, 0} =
H
Zatem
rk(2
+
H)
= 4
(b) (3 pkt) Czy w grupie
S
6
istnieje podgrupa izomorczna z grup¡
Z
3
×
Z
3
?
Z
3
×
Z
3
jest produktem wewn¦trznym
Z
3
× {0}
oraz
{0} ×
Z
3
zatem szukamy w grupie
S
6
elementów rz¦du
3 których cykle s¡ rozª¡czne. We¹my:
(1, 2, 3)
∼
Z
3
× {0}
=
(4, 5, 6)
∼ {0} ×
Z
3
=
Czyli
Z
3
×
Z
3
∼
(1, 2, 3)
×
(4, 5, 6)
=
(c) (2 pkt) Czy grupa
D
4
jest izomorczna z produktem
G
×
H
dla pewnych nietrywialnych grup
G
i
H
?
|G|
= 2
⇒
G
∼
Z
2
=
|H|
= 4
⇒
G
∼
Z
4
=
Czyli
G
×
H
∼
Z
2
×
Z
4
=
Zatem
D
4
musiaªo by by¢ izomorczne z naszym produktem ale nie jest poniewa»
D
4
nie jest abelowa a
protukt grup jest abelowy.
Zadanie 1.2.3.
(a) Czy w grupie ilorazowej
(R, +)/(Z, +)
istnieje element:
1
+
Z
poniewa»:
2
(1) (2 pkt) rz¦du 2?
Tak np.
ale
1
+
Z
=
Z
2
1
1 1
1
+
Z
+ +
Z
= + +
Z
=1+
Z
=
Z
2
2
2 2
(2) (2 pkt) rz¦du
∞
√
√
Tak, np.
2 +
Z
poniewa» nie istnieje
n
∈
N
+
takie »e
n
2 +
Z
=
Z
4
1.3
Rok akademicki 2011/2012
1
KOLOKWIUM 2
(b) (3 pkt) Dane s¡ grupy
H < G
oraz
b
∈
G\H
takie, »e
[G :
H]
= 3
i
bH
=
Hb
. Udowodni¢, »e
H G
Z te±ci zadania wiemy ze podgrupa H tworzy 3 warstwy Mozemy je zapisa¢ jako:
eH
=
H
,
bH
(bo mamy
podany element b), oraz we¹my element
c
∈
G\(H
∪
bH)
i znaczmy trzeci¡ warstw¦ jako
cH
Opisali±myt 3
warstwy lewostronne których suma tworzy caªy zbiór
G
.
Wiemy, »e
eH
=
He
poniewa»
e
to element neutralny
Z tre±ci zadania wiemy ze
bH
=
Hb
wystarczy udowodni¢ »e
cH
=
Hc
,
Hc
=
H
poniewa»
c
∈
H
/
Hc
=
Hb
poniewa»
c
∈
Hb
/
Zatem skoro warstwy s¡ równoliczne i
c
∈
H
,
c
∈
Hb
to
/
/
cH
=
Hc
A skoro w ka»dej partycji grupy G zachodzi
gH
=
Hg
to H jest dzielnikiem normalbym grupy G.
1.3
Rok akademicki 2011/2012
Zadanie 1.3.1.
Rozwa»my, grup¦
D
4
izometrii wªasnych kwadratu.
(a) (1 pkt) Wypisa¢ wszystkie elementy grupy
D
4
i poda¢ ich rz¦dy.
element
id
O
Π
2
O
Π
O
3Π
2
S
a
S
b
S
c
S
d
rz¡d elementu
1
4
2
4
2
2
2
2
(b) (2 pkt) Czy istnieje podgrupa grupy
D
4
izomorczna z grup¡
Z
4
?
Tak, Jest to grupa cykliczna generowana przez obrót o
90
◦
czyli elementami tej grupy s¡ :
{id,
O
Π
, O
Π
, O
3Π
}
2
2
(c) (2 pkt) Czy istnieje podgrupa grupy
D
4
izomorczna z grup¡
K
4
?
Tak,
G
=
{id,
O
Π
, S
a
, S
c
}
gdzie symetrie to symetre przechodz¡ce przez ±rodki równolegªych boków kwadratu.
Ka»dy element poza
id
jest rz¦du 2 i zªo»enie dwóch elementów rz¦du 2 daje nam trzeci element rzedu 2
(d) (3 pkt) Uzasadni¢, »e w grupie
D
4
s¡ przynajmniej 4 klasy sprz¦»enia.
Ka»d¡ izometri¦ z
D
4
mo»na zapisa¢ jako permutacje i otrzymujemy nast¦puj¡ce zamiany:
izometria
id
O
Π
2
O
Π
O
3Π
2
S
a
S
b
S
c
S
d
5
permutacja
id
(1,2,3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4,3,2)
(1,4)(2,3)
(2,4)
(1,2)(3,4)
(1,3)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin