1CZ.pdf

(60 KB) Pobierz
Pochodna cząstkowa (energ.13,A.Lenarcik)
funkcje wielu zmiennych
cz-1.
Określ i
√
naszkicuj dziedzinę podanej funkcji dwu zmiennych:
(a)
f
(x,
y)
=
x
+
y
−
1, (b)
f
(x,
y)
= ln(x
−
y),
(c)
f
(x,
y)
=
√
cz-2.
Naszkicuj wykresy przestrzenne podanych funkcji:
(a)
z
= 5
−
x
−
y,
(b)
z
=
x
2
, (c)
z
=
y
2
, (d)
z
=
x
2
+
y
2
,
√
(h)
z
= 4
−
x
2
, (i)
z
= 4
−
y
2
.
pochodne cząstkowe
cz-4.
Korzystając z definicji:
∂f
f
(x
0
+ ∆x,
y
0
)
−
f
(x
0
, y
0
)
∂f
f
(x
0
, y
0
+ ∆y)
−
f
(x
0
, y
0
)
(x
0
, y
0
) = lim
oraz
(x
0
, y
0
) = lim
∆x→0
∆y→0
∂x
∆x
∂y
∆y
oblicz pochodne cząstkowe następujących funkcji:
(a)
f
(x,
y)
=
xy
2
w punkcie
x
0
= 2,
y
0
= 1, (b)
f
(x,
y)
=
x
2
y
w punkcie
x
0
,
y
0
,
2
(c)
f
(x,
y)
=
x+xy
w punkcie
x
0
,
y
0
.
cz-5.
Oblicz pochodne cząstkowe
∂f
∂x
1
,
x
2
−y
(d)
f
(x,
y)
= log
2
(4
−
x
2
−
y
2
).
(f)
z
= 4
−
x
2
−
y
2
,
(g)
z
=
4
−
x
2
−
y
2
,
(e)
z
=
x
2
−
y
2
,
cz-3.
Naszkicuj powierzchnie opisane równaniami: (a)
x
2
+
y
2
+
z
2
−
1 = 0,
(b)
x
2
+
y
2
−
z
2
= 0, (c)
x
2
+
y
2
−
1 = 0.
i
∂f
∂y
funkcji
f
(x,
y):
(e)
f
(x,
y)
=
3x
(a)
f
(x,
y)
=
x
y
, (b)
f
(x,
y)
=
x
2
+
y
3
+
xy
2
+
x,
(c)
f
(x,
y)
=
x
sin(xy), (d)
f
(x,
y)
=
(x−2y)
2
,
√
x
2
y
x
x
sin
y
+
y
cos
x,
(f)
f
(x,
y)
=
1+xlny
, (g)
f
(x,
y)
=
√
2 2
, (h)
f
(x,
y)
=
x
tg(xy) +
y
ctg(xy
2
).
x
+y
cz-6.
Wyznacz przybliżenie Taylora pierwszego rzędu, czyli równanie płaszczyzny stycznej do funkcji
z
=
f
(x,
y)
dla (x
0
, y
0
):
(a)
f
(x,
y)
= 49
−
x
2
−
y
2
,
x
0
= 2,
y
0
= 3, (b)
f
(x,
y)
=
y
arctg(x
2
y), x
0
= 1,
y
0
= 1,
(c)
f
(x,
y)
= 2y + ln(xy
2
−
3x),
x
0
= 1,
y
0
= 2.
cz-7.
Wyznacz przybliżenie Taylora drugiego rzędu dla funkcji
z
=
f
(x,
y)
w punkcie (x
0
, y
0
):
(a)
f
(x,
y)
=
e
x+xy
,
x
0
= 0,
y
0
= 0,
(b)
f
(x,
y)
= ln(x
2
−
xy
−
1),
x
0
= 2,
y
0
= 1.
Wynik zapisz w postaci przyrostowej.
cz-8.
Wyznacz ekstrema funkcji
z
=
f
(x,
y):
1
(a)
f
(x,
y)
=
−
3
x
3
+
5
x
2
−
xy
+
5
y
2
+ 5y, (b)
f
(x,
y)
=
x
2
+
xy
+ 3y
2
+ 11y + 5,
2
2
1
(d)
f
(x,
y)
=
3
x
3
+
xy
2
−
5y
2
−
169x.
gradient
cz-9.
Na podstawie wektora gradientu wyznacz prostą styczną i prostopadłą do poziomicy
f
(x,
y)
=
const
w danym punkcie:
(a)
f
(x,
y)
=
x
2
−
y
2
,
P
0
= (4, 3), (b)
f
(x,
y)
= 4x
2
+ 9y
2
,
P
0
= (−4, 2).
cz-10.
Na podstawie wektora gradientu wyznacz płaszczyznę styczną i prostą prostopadłą do poziomicy
f
(x,
y, z)
=
const
w danym punkcie:
(a)
f
(x,
y, z)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
P
0
= (4, 3,
−1),
(b)
f
(x,
y, z)
=
x
2
−
xy
+
z
2
,
P
0
= (−4, 1, 2).
powierzchnia opisana parametrycznie
cz-11.
Znajdź równanie ogólne płaszczyzny stycznej do powierzchni
x
=
s
+
t
y
=
s
2
−
t
z
=
t
3
w punkcie określonym przez
s
= 1,
t
= 2.
(c)
f
(x,
y)
=
x
3
−
3xy + 2y
2
−
y,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin