ZADANIA_AGA.pdf

(129 KB) Pobierz
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA LINIOWA 1 (rok akad. 2015/16)
Kursy MAP 1029, 1039, 1070, 1140, 1141, 3046, 3055, 3074
Lista zdań obejmuje cały materiał kursu oraz określa rodzaje i przybliżony stopień trudności
zadań, które pojawią się na kolokwiach i egzaminach. Na ćwiczeniach należy rozwiązać 1-2 podpunkty
z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (∗). Zadania oznaczone
literą (P) są proste i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką (*) są
trudne. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy umieszczono
po 4 przykładowe zestawy zadań z obu kolokwiów oraz egzaminu podstawowego i poprawkowego.
Uzdolnionym studentom proponujemy udział w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy.
Zadania z tych egzaminów z kilku ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej
http://www.wmat.pwr.edu.pl/2831151.231.dhtml
Opracowanie: doc. dr Zbigniew Skoczylas
∗
Lista zadań
∗
1.(P)
Podać przykłady liczb rzeczywistych, dla których
nie zachodzą
równości:
√
√
1 1
√
1
(a) (x +
y)
2
=
x
2
+
y
2
; (b)
x
+
y
=
x
+
y;
(c)
= + ;
x
+
y
x y
√
x
+
u
x u
;
(f) sin 2x = 2 sin
x;
(d)
x
2
=
x;
(e) + =
y
v
y
+
v
log
2
a
(h)
|x
+
y|
=
|x|
+
|y|;
(i)
= log
2
(a
−
b);
(j)
a
n
·
a
m
=
a
n·m
.
log
2
b
2.
Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej
n
zachodzą tożsa-
mości:
(a) 1 + 3 +
. . .
+ (2n
−
1) =
n
2
;
n
(n + 1) (n + 2)
(b) 1
·
2 + 2
·
3 +
. . .
+
n(n
+ 1) =
;
3
1
1
1
2
1
n
(n + 1)
n
·
1+
·
...
·
1 +
=
.
(c) 1 +
1
2
n
n!
3.
Korzystając z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:
1
1
1
1
(a) 2
n
> n
2
dla
n
5; (b)
2
+
2
+
. . .
+
2
2
−
dla
n
∈
N;
1
2
n
n
n
n
dla
n
6;
(c)
n! >
2
n
dla
n
4; (d)
n! <
2
(e) (1 +
x)
n
1 +
nx
dla
x
−1
oraz
n
∈
N
(nierówność Bernoulliego).
Zadania z listy pochodzą z książek
Algebra i geometria analityczna (Definicje, twierdzenia, wzory;
Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy),
oraz
Wstęp do analizy i algebry.
∗
1
4.
Metodą indukcji matematycznej pokazać, że dla każdej liczby naturalnej
n
liczba:
(a)
n
5
−
n
jest podzielna przez 5;
(b) 4
n
+ 15n
−
1 jest podzielna przez 9.
5.
Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń:
√
6
√
√
1
5
4
(a) (2x
−
y)
; (b)
c
+ 2 ; (c)
x
+
3
; (d) (
u
−
4
v)
8
.
x
6.*
Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n
n
n
n
n
k
n
(a)
; (b)
2 ; (c)
(−1)
k
.
k
k
k
k=0
k=0
k=0
1
7.
(a) W rozwinięciu wyrażenia
a
+
2
a
√
3
4
x
5
−
3
(b) W rozwinięciu wyrażenia
x
3
15
znaleźć współczynnik przy
a
5
;
7
znaleźć współczynnik przy
⋆⋆⋆
√
4
x.
8.
Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwiązania:
(a)
z
= (2
−
i)z;
(b)
z
2
+ 4 = 0;
(c) (1 + 3i)
z
+ (2
−
5i)
z
= 2i
−
3;
(d*)
z
3
= 1.
9.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki:
1
(a) Re (z + 1) = Im (2z
−
4i) ; (b) Re
z
2
= 0; (c) Im
z
2
8; (d) Re
>
Im (iz)
.
z
10.
Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i naryso-
wać zbiory liczb zespolonych spełniających warunki:
(a)
|z
+ 2
−
3i|
<
4;
(b)
|z
+ 5i|
|3 −
4i|; (c)
|z −
1| =
|1
+ 5i
−
z|;
(d)
|z
+ 3i|
<
|z −
1
−
4i|;
z
−
3i
>
1;
(g)
z
z
2
+ 4
(h)
z
−
2i
5;
(e)
|iz
+ 5
−
2i|
<
|1
+
i|;
(f)
|¯
+ 2
−
3i|
<
5;
z
(i)
z
2
+ 2iz
−
1
<
9;
(j*) 2|z + 1|
< z
2
−
z
−
2
3|z
−
2|; (k)
|(1
+
i)z
−
4| =
|(1 −
i)z
+ 6|
.
11.
Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć:
√
6
√
√
15
√
9
3
1
5
5
;
(c) 2i
−
12 ;
2
−
i
2
(a)
−
+
i
; (b)
2
2
√
20
(7 +
i)
11
24
8
(e*) (i
−
2) (13 + 9i) ; (f*)
(d)
.
3
−
i
;
(2 +
i)
22
12.
Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków:
√
√
√
3
(a)
4
−16;
(b) 27i; (c*)
4
(2
−
i)
8
; (d)
6
8.
13.
W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
(a)
z
2
−
2z + 10 = 0;
(b)
z
2
+ 3iz + 4 = 0;
(e)
z
6
= (1
−
i)
12
;
⋆⋆⋆
(c)
z
4
+ 5z
2
+ 4 = 0;
(f) (z
−
i)
4
= (z + 1)
4
.
(d)
z
2
+ (1
−
3i)
z
−
2
−
i
= 0;
14.(P)
Znaleźć pierwiastki całkowite wielomianów:
(a)
x
3
+ 3x
2
−
4;
(b)
x
4
−
2x
3
+
x
2
−
8x
−
12;
(c)
x
4
−
x
2
−
2.
15.
Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianów:
(a) 12x
3
+ 8x
2
−
3x
−
2; (b) 18x
3
−
9x
2
−
2x + 1; (c) 6x
4
+ 7x
2
+ 2.
2
16.(P)
Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami wielomianów:
(a) (x
−
1) (x + 2)
3
;
(b) (2x + 6)
2
(1
−
4x)
5
;
(c)
z
2
−
1
z
2
+ 1
3
z
2
+ 9
4
.
17.
Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu
P
przez wielomian
Q,
jeżeli:
(b)
P
(x) =
x
47
+ 2x
5
−
13,
Q
(x) =
x
3
−
x
2
+
x
−
1;
(a)
P
(x) =
x
8
+ 3x
5
+
x
2
+ 4,
Q
(x) =
x
2
−
1;
(d*)
P
(x) =
x
2006
+
x
1002
−
1,
Q
(x) =
x
4
+ 1;
(c)
P
(x) =
x
99
−
2x
98
+ 4x
97
,
Q
(x) =
x
4
−
16;
(e*)
P
(x) =
x
444
+
x
111
+
x
−
1,
Q
(x) =
x
2
+ 1
2
.
18.
Pokazać, że jeżeli liczba zespolona
z
1
jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego
P
, to liczba
z
1
także jest pierwiastkiem wielomianu
P.
Korzystając z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki
zespolone wielomianu
P
(x) =
x
4
−
4x
3
+ 12x
2
−
16x + 15 wiedząc, że jednym z nich jest
x
1
= 1 + 2i.
19.
Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste:
(a)
x
3
−
27;
(b)
x
4
+ 16;
(c)
x
4
+
x
2
+ 4;
(d*)
x
6
+ 1.
20.
Podane funkcje wymierne rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste:
2x + 5
x
+9
x
3
−
2x
2
−
7x + 6
3x
2
+ 4x + 3
(a)
2
; (b)
; (d)
.
; (c)
3
x
−
x
−
2
x
−
x
2
+ 4x
−
4
x
4
+ 10x
2
+ 9
x
(x + 3)
2
⋆⋆⋆
21.(P)
Dla par macierzy
A, B
wykonać (jeśli to jest możliwe) działania 3A
−
1
B, A
T
, AB, BA, A
2
:
2
(a)
A
=
1 4
,
B
=
−2
0
1
0
3
0
,
B
=
0
−6
−8
2
;
(b)
A
=
1
−3
2 ,
B
=
2
−4
0
;
(c)
A
=
−2
1 0 5 ;
−2
0
1 0
−1
(d)
A
=
2 1
−4
,
B
=
4 1
.
0 3
−3
0
2

4 3
1 0

22.(P)
Rozwiązać równanie macierzowe 3

−3
3
−X
=
X+
0 6
.
−1
2
2 5
23.(P)
Znaleźć niewiadome
x, y, z
spełniające równanie 2
x
+2
y
+3
3
0
=
3 6
y z
T
.
24. *
Pokazać, że każdą macierz kwadratową można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy
symetrycznej
A
T
=
A
i antysymetrycznej
A
T
=
−A
. Napisać to przedstawienie dla macierzy
0 1
4
B
=
−3
5
2
.
2 4
−3
⋆⋆⋆
3
25.
Napisać rozwinięcia Laplace’a wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać
wyznaczników w otrzymanych rozwinięciach):
−1
4
3
−3
1
0
, trzecia kolumna;
2 5
−2
1
−2
5
2
4
−3
7
4
2
0
, czwarty wiersz.
4
1
6
0
0
−3
(a)
( b)
26.
Obliczyć wyznaczniki:
−2
5
;
3
−7
1
−1
2
3
2
−4
;
2
2
1
2
0 0
0
3
−3
5
7
.
4
0 1
4
5
0 2
−2
(a)
(b)
(c)
27.
Korzystając z własności wyznaczników uzasadnić, że macierze są osobliwe:
2
(a)
−1
4
−4
−2
2
;
3
5
−6
(b)
4
1 2 3
4 4
;
3 2 1
(c)
1
7
5
3
5
5
7
3
2
2
4
0
−2
−5
−4
−3
.
a
b
0
28.
(a) Wiadomo, że det
c
d
0
=
−24.
Obliczyć det
5
−2
3
1
(b) Wiadomo, że det
5
a b
c d
;
3
0 0
0
x y
0
z t
0
7
−4
5
−2
29.*
Obliczyć wyznaczniki macierzy:
2
(a)
3
4
= 18. Obliczyć det
x y
z t
.
1
2
2
3
4
5 5
3
3
3
4
5
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
;
(b)
2
−1
0
0
0
0
2
−1
0
0
0
0
2
−1
0
0
0
0
2
−1
−1
0
0
0
2
;
30.
Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do:
2 5
;
3 8
(c)
5 3
0
...
2 5 3
...
0
2 5
...
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0
...
3
0
0
0
.
5
n×n
1
(a)
A
=
(b)
A
=
3
0
0
−1
0
;
2
5
−1
31.
Korzystając z metody dołączonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do :
1
2
−3 −1
(c)
A
=
0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
4
0
0
3
0
.
1
(a)
A
=
;
(b)
A
=
0
4
−12
−2
0
;
0
2
6
(c)
A
=
1
0
−1
0
4
1
0 0
.
0
−2
1 3
0
0
0 1
.
32.
Wiadomo, że
A
−1
4
0
0
=
−8 −2
0
.
Wyznaczyć
10 12
−6
4
1
A
2
−1
33.
Znaleźć rozwiązania równań macierzowych:
(a)
3 5
1 2
·X
=
0
3 1
4
−2
0
;
−2
0 3
(e)
X·
1 1 1
−3
0 4
−3
0 4
(c)
X·
1 1 1
=
−2
0 3
−1
1 2
0
(b)
X
·
1 1
1
=
2 6
−1
(d)
2 1
3 2
·
X
·
−3
1 2 ;
=
2 8
;
0 5
2 7
1 4
−5
1 2
;
1 2 3
−3
2
5
−3
5 6
4 5
=
−2
1 3 ;
(f)
1
−1
−1
2
⋆⋆⋆
·
X
−1
·
=
.
34.
Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazaną niewiadomą z układów równań liniowych:
2x
−
y
= 0,
3x + 2y = 5;
x
+
y
+ 2z =
−1,
2x + 3y + 11z + 5t = 2,
x
+
y
+ 5z + 2t = 1,
(c)
z
−>
2x +
y
+ 3z + 2t =
−3,
(a)
y
−>
(b)
x
−>
2x
−
y
+ 2z =
−4,
4x +
y
+ 4z =
−2;
x
+
y
+ 3z + 4t =
−3.
35.
Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
x
+
y
+ 2z =
−1,
3x
−
2y
−
5z +
t
2x
−
3y +
z
+ 5t
(b)
x
+ 2y
−
4t
x
−
y
−
4z + 9t
(a)
2x
−
y
+ 2z =
−4,
4x +
y
+ 4z =
−2;
= 3,
=
−3,
=
−3,
= 22.
36.
(a) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (−1, 2)
,
(0,
−1)
,
(2, 4)
.
(b) Wyznaczyć współczynniki
a, b, c
funkcji
y
=
a2
x
+
b3
x
+
c4
x
,
która w punktach
−1,
0, 1 przyjmuje
odpowiednio wartości 3/4, 1, 1.
(c) Funkcja
y
(x) =
A
cos 2x +
B
sin 2x spełnia równanie różniczkowe
y
′′
−
6y
′
+ 13y = 25 sin 2x.
Wyznaczyć współczynniki
A, B.
37.
(a) Dla jakich wartości parametru
m,
podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie
mx
+
y
+ 2z = 0,
x
+
y
x
2x
−
y
+
mz
= 0,
mx
+
y
+ 4z = 0?
=
z
+
t
=
+
z
=
y
+
t
=
a,
b,
c,
d?
(b) Dla jakich wartości parametrów
a, b, c, d,
podany układ równań liniowych jest sprzeczny
(c) Znaleźć wartości parametru
p,
dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwią-
zanie
x
+ 2y
−
3z =
−1,
2x
−
py
+
z
= 3,
2x +
y
−
pz
= 5.
⋆⋆⋆
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin