Podstawowe pojęcia topologii.pdf

(248 KB) Pobierz
Politechnika Krakowska
im. Tadeusza Kościuszki
Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki
Justyna Świąć
Nr albumu: 097013
Podstawowe pojęcia topologii
Basic concepts in topology
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
dra Witolda Obłozy
Uzgodniona ocena: . . . . . . . . .
................................
podpisy promotora i recenzenta
Kraków 2016
Składam serdeczne podziękowania .....
1
Spis treści
Wprowadzenie
Wybrane zagadnienia topologii
Operacje na przestrzeniach topologicznych.
Lemat Urysohna
Bibliografia
4
9
16
20
25
2
Wstęp
Tematem mojej pracy są podstawowe pojęcia topologii, w każdym rozdziale szczegółowo
omówiłam wybrane zagadnienia.
W pierwszym rozdziale zostały omówione przestrzenie metryczne, ciągi, zbieżność oraz
ciągłość w przestrzeni metrycznej. Krótkim wprowadzeniem do topologii jest definicja prze-
strzeni topologicznej oraz definicja i stwierdzenia z nią powiązane.
W następnym rozdziale opisałam między innymi ciągłość odwzorowania. Ważnym elemen-
tem tego rozdziału są aksjomaty oddzielenia, czyli podstawowe własności niektórych prze-
strzeni topologicznych.
Kolejny rozdział opisuje operacje na przestrzeniach topologicznych, to znaczy podprze-
strzenie przestrzeni topologicznych, iloczyn kartezjański oraz przestrzeń ilorazową.
Tematem ostatniego rozdziału jest Lemat Urysohna z dowodem. Rozdział ten zawiera
również Twierdzenie Tietziego-Urysohna, a także Twierdzenie Urysohna o zanurzaniu.
3
Wprowadzenie
Powiem krótko o zagadnieniach, bez których zrozumienie dalszych rozdziałów byłoby nie-
możliwe.
0.1. Przestrzenie metryczne
Krótko o przestrzeniach metrycznych i ich własnościach, a także o ciągłości odwzorowania
Definicja 1.
Przestrzenią metryczną
nazywamy parę (X,
d)
złożoną ze zbioru
X
oraz funkcji
d
:
X
×
X
→
R
(używamy też nazwy
metryka),
takiej że zachodzą następujące warunki:
•
M1.
d(x, y)
0 dla każdych
x, y
∈
X,
przy czym
d(x, y)
= 0
⇐⇒
x
=
y
•
M2.
(symetryczność)
d(x, y)
=
d(y, x)
dla każdych
x, y
∈
X
•
M3.
(nierówność trójkąta)
d(x, z)
d(x, y)
+
d(y, z)
dla każdych
x, y, z
∈
X
Definicja 2.
Niech (X,
d)
będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór
V
⊂
X
nazywamy
otwar-
tym,
jeżeli dla każdego
x
∈
X
istnieje taki
ε >
0, że ”ε
−
kula”K
ε
(x) :=
{y ∈
X|d(x, y) <
0}
o środku w
x
zawiera się w
V
. Zbiór
O(d)
wszystkich otwartych podzbiorów przestrzeni
X
nazywamy
topologią
przestrzeni metrycznej (X,
d).
Definicja 3.
Niech
A
⊂
X
będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,
d).
Metryka
d
obcięta do zbioru
A
×
A
spełnia warunki
M1-M3
metryki. Przestrzeń
A
będzie-
my nazywać podprzestrzenią metryczną przestrzeni
X.
Uwaga 1.
W podprzestrzeni (A,
d)
przestrzeni metrycznej (X,
d)
zbiory otwarte są postaci
U
∩
A,
gdzie
U
jest zbiorem otwartym w przestrzeni
X.
0.2. Ciągi i zbieżność
Podstawowe w topologii pojęcie granicy ciągu punktów zdefiniujemy przestrzeni metrycz-
nej za pomocą granicy ciągu liczb rzeczywistych
Definicja 4.
Funkcję postaci
x
:
N
→
X
nazywamy ciągiem w zbiorze
X.
Gdy mamy
przestrzeń metryczną (X,
d),
zdefiniujemy zbieżność ciągów: ciąg (x
n
)
n∈N
⊆
X
jest zbieżny
do
x
w przestrzeni metrycznej (X,
d)
jeżeli
x
∈
X
oraz
∀ε
>
0
∃n
0
∀n
n
0
x
n
∈
K(x, ε)
W dowolnej przestrzeni metrycznej granica ciągu jest wyznaczona jednoznacznie, tzn. jeśli
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin