matura nowe wzory 2015.pdf

(2774 KB) Pobierz
Spis treści
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Wartość bezwzględna liczby
....................................................................................................................1
Potęgi i pierwiastki
...................................................................................................................................1
Logarytmy
................................................................................................................................................2
Silnia. Współczynnik dwumianowy
.........................................................................................................2
Wzór dwumianowy Newtona
...................................................................................................................2
Wzory skróconego mnożenia
...................................................................................................................3
Ciągi
.........................................................................................................................................................3
Funkcja kwadratowa
................................................................................................................................4
Geometria analityczna
..............................................................................................................................4
10. Planimetria
...............................................................................................................................................6
11. Stereometria
...........................................................................................................................................12
12. Trygonometria
........................................................................................................................................14
13. Kombinatoryka
.......................................................................................................................................16
14. Rachunek prawdopodobieństwa
.............................................................................................................17
15. Parametry danych statystycznych
..........................................................................................................18
16. Granica ciągu
..........................................................................................................................................18
17. Pochodna funkcji
....................................................................................................................................19
18. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych
.......................................................................................20
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.
Warszawa 2015
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej
x
definiujemy wzorem:
Liczba
x
jest to odległość na osi liczbowej punktu
x
od punktu 0.
Dla dowolnej liczby
x
mamy:
x
0
x
0 wtedy i tylko wtedy, gdy
x
=
0
−
x
=
x
Dla dowolnych liczb
x, y
mamy:
x
x
=
.
y
y
mamy:
Ponadto, jeśli
y
≠
0
, to
Dla dowolnych liczb
a
oraz
2. POTĘGI I PIERWIASTKI
Niech
n
będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby
a
definiujemy jej
n-tą
potęgę:
a
n
=
a
⋅
...
⋅
a
n
razy
Pierwiastkiem arytmetycznym
n
a
stopnia
n
z liczby
a
nazywamy liczbę
b
a
2
=
a
.
taką, że
b
n
=
a
.
W szczególności, dla dowolnej liczby
a
zachodzi równość:
Jeżeli
a
<
0
oraz
liczba
n
jest nieparzysta, to
n
a
oznacza liczbę
b
<
0
taką, że
b
n
=
a
.
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
Niech
m, n
będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
a
−
m
n
=
1
n
a
m
Niech
r, s
będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli
a
>
0
i
b
>
0,
to zachodzą równości:
a
⋅
a
=
a
r
s
r
+
s
(
a
)
r s
r
=
a
r
⋅
s
a
r
=
a
r
−
s
s
a
(
a
⋅
b
)
r
=
a
r
⋅
b
r
r
a
a
  =
r
b
b
Jeżeli wykładniki
r, s
są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich
liczb
a
≠
0
i
b
≠
0.
1
3. LOGARYTMY
Logarytmem
log
a
c
dodatniej liczby
c
przy dodatniej i różnej od 1 podstawie
a
nazywamy wykładnik
b
potęgi, do której należy podnieść
a,
aby otrzymać
c:
log
a
c
=
b
wtedy i tylko wtedy, gdy
a
b
=
c
Równoważnie:
a
log
a
c
=
c
Dla dowolnych liczb
x
>
0
,
y
>
0
oraz
r
zachodzą wzory:
log
a
(
x
⋅
y
)
=
log
a
x
+
log
a
y
log
a
x
r
=
r
⋅
log
a
x
log
a
x
=
log
a
x
−
log
a
y
y
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli
a
>
0
,
a
≠
1
,
b
>
0,
b
≠
1
oraz
c
>
0,
to
log
b
c
=
log
a
c
log
a
b
Logarytm
log
10
x
można też zapisać jako log
x
lub lg
x.
4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silnią liczby całkowitej dodatniej
n
nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do
n
włącznie:
n
!
=
1
⋅
2
⋅
...
⋅
n
Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1.
Dla dowolnej liczby całkowitej
zachodzi związek:
(
n
+
1
)
!
=
n
!
⋅
(
n
+
1
)
Dla liczb całkowitych
n, k
spełniających warunki
(symbol Newtona):
n
n
!
=
 
k
k
!
(
n
−
k
)
!
Zachodzą równości:
n
n
(
n
−
1
)(
n
−
2
)
⋅
...
⋅
(
n
−
k
+
1
)
 =
k
!
k
n
 
n
n
 =
  =
1
0
k
 
n
−
k
n
definiujemy współczynnik dwumianowy
 
k
n
  =
1
n
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej
n
oraz dla dowolnych liczb
a, b
mamy:
n
n
n
n
n
−
1
n
n
=  
a
n
+  
a
n
−
1
b
+
...
+  
a
n
−
k
b
k
+
...
+ 
ab
+  
b
0
1
k
n
−
1
n
(
a
+
b
)
n
2
6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Dla dowolnych liczb
a, b:
(
a
+
b
)
=
a
2
+
2
ab
+
b
2
2
(
a
−
b
)
=
a
2
−
2
ab
+
b
2
2
(
a
+
b
)
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
ab
2
+
b
3
3
(
a
−
b
)
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
ab
2
−
b
3
3
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej
n
oraz dowolnych liczb
a, b
zachodzi wzór:
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
...
+
a
n
−
k
b
k
−
1
+
...
+
ab
n
−
2
+
b
n
−
1
)
W szczególności:
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
ab
+
b
2
)
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
ab
+
b
2
)
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
) (
a
+
b
)
a
3
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
2
+
a
+
1
)
a
3
+
1
=
(
a
+
1
)
(
a
2
−
a
+
1
)
a
n
−
1
=
(
a
−
1
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
+
...
+
a
+
1
)
a
2
−
1
=
(
a
−
1
) (
a
+
1
)
7. CIĄGI
• Ciąg arytmetyczny
Wzór na
n-ty
wyraz ciągu arytmetycznego
(
a
n
)
o pierwszym wyrazie
a
1
i różnicy
r:
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
r
Wzór na sumę
S
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
początkowych
n
wyrazów ciągu arytmetycznego:
S
n
=
2
a
+
(
n
−
1
)
r
a
1
+
a
n
⋅
n
=
1
⋅
n
2
2
a
n
−
1
+
a
n
+
1
2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a
n
=
dla
n
2
• Ciąg geometryczny
Wzór na
n-ty
wyraz ciągu geometrycznego
(
a
n
)
o pierwszym wyrazie
a
1
i ilorazie
q:
a
n
=
a
1
⋅
q
n
−
1
dla
n
2
Wzór na sumę
S
n
=
a
1
+
a
2
+
...
+
a
n
początkowych
n
wyrazów ciągu geometrycznego:
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
2
a
n
=
a
n
−
1
⋅
a
n
+
1
dla
n
2
• Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy
K
złożymy na
n
lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi
p%
w skali
rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy
K
n
wyraża się wzorem:
p
K
n
=
K
⋅ 
1
+
100
n
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin