NSK - cwiczenia nr 9.pdf
(
113 KB
)
Pobierz
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Ćwiczenia nr 3. Redundancja układowa, aktywna
1. Redundancja aktywna
Rezerwowanie aktywne
– elementy rezerwowe są włączane do systemu dopiero w
przypadku awarii elementów podstawowych. Taki sposób rezerwowania wymaga
zastosowania w systemie układu kontrolno przełączającego (przełącznika). Zadaniem takiego
układu jest stałe śledzenie stanu elementu roboczego i elementów rezerwowych oraz
włączanie zdatnego elementu rezerwowego zamiast elementu roboczego po jego uszkodzeniu.
Przełącznik charakteryzują następujące parametry:
T - czas przełączania
P
- prawdopodobieństwo wykonania poprawnego przełączenia
)
R
p
- prawdopodobieństwo zdatności przełącznika w chwili t
W analizie niezawodności systemów z rezerwowaniem aktywnym rozpatruje się dwa rodzaje
przełączników:
•
(
t
idealny, dla którego
,
,
T
=
0
P
=
1
R
p
(
t
)
=
1
•
rzeczywisty, dla którego
T
³
0
,
P
£
1
,
R
p
(
t
)
£
1
2. Miara redundancji
Aby móc ocenić zysk wynikający z zastosowanej redundancji układowej trzeba mieć
moŜliwość porównania niezawodności systemu z redundancją z niezawodnością systemu
podstawowego (bez elementów rezerwowych).
Wprowadza się pojęcie
miary redundancji strukturalnej
(
zysk z rezerwowania
), która to
miara jest ściśle związana ze wskaźnikiem niezawodności, jaki jest w danym momencie
rozwaŜany:
*
w
(
t
)
H
=
w
(
t
)
w
(
t
)
gdzie,
•
w(t) - rozwaŜany wskaźnik niezawodności,
przy czym
•
w(t) – jest rozwaŜanym wskaźnikiem dla systemu z jego podstawowymi elementami
(bez nadmiarowych),
w*(t) – jest rozwaŜanym wskaźnikiem dla systemu z uwzględnieniem elementów
nadmiarowych.
Jako wskaźnik niezawodności moŜe słuŜyć, np. funkcja niezawodności
•
R
(
t
).
1
Arkadiusz Wrzosk
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Zadanie 1
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, aktywną złoŜoną z
elementów identycznych, nieodnawialnych o wykładniczym rozkładzie czasu do uszkodzenia
z parametrem a. Zakładamy, Ŝe przełącznik jest idealny. Schemat blokowy struktury
niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.
Element 2 stanowią redundancję aktywną dla element 1.
Zatem
−
F
(
t
)
=
F
(
t
)
=
1
−
e
at
i
−
at
)(
Przełącznik idealny, więc
R
t
=
R
(
t
)
=
e
i
T
=
0
,
P
=
1
,
R
p
(
t
)
=
1
WyznaczyĆ zysk z redundancji dla wskaŹników
R
(
t
)
i
E
{
T
}
.
Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika R(t) jest postaci
R
*
(
t
)
(
)
=
H
t
S
R
(
t
)
R
(
t
)
S
Funkcja niezawodności systemu podstawowego wyraŜa się następująco
at
−
R
(
t
)
=
R
(
t
)
=
1
−
F
(
t
)
=
e
S
1
1
*
Funkcja niezawodności systemu z redundancją
R
S
(
t
)
=
?
W przypadku redundancji aktywnej, czas do uszkodzenia systemu definiujemy jako sumę
zmiennych losowych: czasu do uszkodzenia elementu podstawowego i czasu do uszkodzenia
elementu rezerwowego.
A więc
R
*
(
t
)
=
P
(
T
*
³
t
)
=
P
(
T
+
T
³
t
)
S
s
1
2
System jest w chwili t w stanie zdatności jeśli:
- element podstawowy jest w stanie zdatności
- element podstawowy jest niezdatny, a element rezerwowy jest w stanie zdatności
Zbiór przedstawiono na rysunku. Interesują nas zaznaczone zdarzenia.
2
Arkadiusz Wrzosk
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Zdarzenia:
- element podstawowy jest w stanie zdatności
- element podstawowy jest niezdatny
są rozłączne (wykluczające się), więc
R
S
*
(
t
)
=
P
(
T
³
t
)
+
P
(
T
<
t
,
T
+
T
³
t
)
1
1
1
2
Prawdopodobieństwo
P
(
T
³
t
)
=
R
(
t
)
1
1
Natomiast dla prawdopodobieństwa
+< musimy zliczyć zdarzenia w zbiorze
(zaznaczona ćwiartka). Zbiór jest nieprzeliczalny dlatego wykorzystujemy całkę. ZałóŜmy,
Ŝe element podstawowy uszkodzi się w chwili u.
P
(
T
t
,
T
T
³
t
)
1
1
2
Interesuje nas iloczyn prawdopodobieństwa:
- element pierwszy uszkodzi się w chwili u –
1
f
- element rezerwowy musi działać w przedziale (u,t) –
)
R
(
t
−
u
)
2
t
*
∫
R
(
t
)
=
P
(
T
³
t
)
+
P
(
T
<
t
,
T
+
T
³
t
)
=
R
(
t
)
+
R
(
t
−
u
)
f
(
u
)
du
=
S
1
1
1
2
1
2
1
0
t
t
t
−
at
∫
−
a
(
t
−
u
)
−
au
−
at
∫
−
a
(
t
−
u
)
−
au
−
at
∫
−
at
+
au
−
au
=
e
+
e
ae
du
=
e
+
a
e
du
=
e
+
a
e
du
=
0
0
0
t
t
−
at
∫
−
at
−
at
−
at
∫
−
at
−
at
t
−
at
−
at
−
at
=
e
+
a
e
du
=
e
+
ae
1
du
=
e
+
ae
[
u
]
=
e
+
ate
=
e
(
+
at
)
0
0
0
Sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach
R
S
*
(
0
=
e
0
(
+
0
=
1
A więc zysk z redundancji dla wskaźnika
R
(
t
)
wynosi
*
−
at
R
(
t
)
e
(
+
at
)
H
(
t
)
=
S
=
=
1
+
at
R
(
t
)
R
(
t
)
e
−
at
S
Warto
ść
miary redundancji strukturalnej w chwili t=0 przyjmuje warto
ść
1 (
(
0
=
1
).
H
(
t
)
MoŜemy w prosty sposób sprawdzić, czy nie popełniliśmy błędu w obliczeniach.
H
(
0
=
1
+
a
×
0
=
1
(
t
)
Natomiast dla
otrzymujemy
t
®
¥
H
(
¥)
=
¥
(
t
)
Wniosek.
Szczególny przypadek dla rozkładu wykładniczego.
3
Arkadiusz Wrzosk
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika E{T} jest postaci
E
*
T
}
H
=
S
E
{
T
}
E
{
T
}
S
Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu
bez redundancji
¥
¥
¥
1
1
∫
∫
−
at
−
at
E
{
T
}
=
R
(
t
)
dt
=
e
dt
=
e
=
s
s
−
a
a
0
0
0
Wartość oczekiwana czasu zdatności dla systemu
z redundancjĄ
¥
¥
¥
¥
*
∫
*
∫
−
at
−
at
∫
−
at
∫
−
at
E
{
T
}
=
R
(
t
)
dt
=
(
e
+
ate
)
dt
=
e
dt
+
ate
dt
s
S
0
0
0
0
Całkowanie przez czĘŚci
b
Całka postaci:
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
a
Jeśli potrafimy znaleźć takie h(x), Ŝe h’(x)=f(x), to moŜemy przekształcić tę całkę do postaci:
b
b
∫
∫
b
a
h
'
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
[
h
(
x
)
g
(
x
)]
−
h
(
x
)
g
'
(
x
)
dx
a
a
¥
¥
¥
¥
1
1
[
]
¥
*
∫
−
at
∫
−
at
∫
−
at
−
at
∫
−
at
E
{
T
}
=
e
dt
+
ate
dt
=
−
t
(
−
ae
)
dt
=
−
e
t
−
e
dt
0
s
a
a
0
0
0
0
[
]
¥
−
at
−
at
e
t
=
lim
(
e
t
)
−
0
0
t
®
¥
1
−
a
1
e
z
−
at
Podstawiamy
t
=
, otrzymujemy
lim
(
e
t
)
=
lim
z
z
t
®
¥
z
®
0
1
ln
1
1
1
1
−
a
k
Podstawiamy
e
=
, więc
=
−
. Z kolei
k
=
.
z
a
k
z
a
−
e
z
a
PoniewaŜ
lim
=
¥
, więc
k
®
¥
b
+
b
®
0
Podstawiając do równania otrzymujemy
1
1
ln
−
a
e
1
z
k
−
at
lim
(
e
t
)
=
lim
=
lim
−
=
=
0
z
a
×
k
¥
t
®
¥
z
®
0
k
®
¥
4
Arkadiusz Wrzosk
awrzosk@wat.edu.pl
Ćwiczenia 3
Niezawodność systemów komputerowych, ćwiczenia
¥
1
[
]
1
1
2
¥
∫
*
−
at
−
at
E
{
T
}
=
−
e
t
−
e
dt
=
−
0
−
=
0
s
a
a
a
a
0
A więc zysk z redundancji dla wskaźnika E{T} wynosi
2
E
*
T
}
2
a
a
H
=
=
=
=
2
S
1
{
T
}
E
{
T
}
a
1
S
a
Wniosek.
Zatem mamy dwukrotny wzrost wartości wskaźnika niezawodności E{T} dla
dostatecznie duŜych t.
Zadanie 2
Rozpatrujemy strukturę niezawodnościową z redundancją układową, aktywną złoŜoną z
elementów róŜnych, nieodnawialnych. Zakładamy, Ŝe przełącznik jest idealny. Schemat
blokowy struktury niezawodnościowej przedstawiony jest na rysunku.
Element 2 stanowią redundancję aktywną dla element 1.
Rozkład czasu do uszkodzenia elementów:
at
−
F
(
t
)
= 1
−
e
1
−
bt
(
2
Przełącznik idealny, więc
F
t
)
= 1
−
e
R
p
WyznaczyĆ zysk z redundancji dla wskaŹników
T
=
0
,
P
=
1
,
(
t
)
=
1
R
(
t
)
.
Miara redundancji strukturalnej dla wskaźnika R(t) jest postaci
R
*
(
t
)
H
(
t
)
=
S
R
(
t
)
R
(
t
)
S
Funkcja niezawodności systemu podstawowego wyraŜa się następująco
at
(
)
(
)
1
(
)
−
R
t
=
R
t
=
−
F
t
=
e
S
1
1
Funkcja niezawodności systemu z redundancją
t
t
dF
(
u
)
*
∫
∫
R
(
t
)
=
P
(
T
³
t
)
+
P
(
T
<
t
,
T
+
T
³
t
)
=
R
(
t
)
+
R
(
t
−
u
)
dF
(
u
)
du
=
R
(
t
)
+
R
(
t
−
u
)
1
du
=
S
1
1
1
2
1
2
1
1
2
du
0
0
t
t
t
t
∫
−
at
∫
−
b
(
t
−
u
)
−
au
−
at
∫
−
b
(
t
−
u
)
−
au
−
at
∫
−
bt
+
bu
−
au
=
R
(
t
)
+
R
(
t
−
u
)
f
(
u
)
du
=
e
+
e
ae
du
=
e
+
a
e
du
=
e
+
a
e
du
=
1
2
1
0
0
0
0
t
t
1
1
(
)
=
−
at
−
bt
∫
−
(
a
−
b
)
u
−
at
−
bt
−
(
a
−
b
)
u
−
at
−
bt
−
(
a
−
b
)
t
=
e
+
ae
e
du
=
e
+
ae
e
=
e
+
ae
e
−
1
−
(
a
+
b
)
b
−
a
0
0
5
Arkadiusz Wrzosk
awrzosk@wat.edu.pl
Plik z chomika:
Bayaniss
Inne pliki z tego folderu:
NSK - cwiczenia nr 7.pdf
(135 KB)
Literatura.docx
(10 KB)
NSK - cwiczenia nr 1.pdf
(169 KB)
NSK - cwiczenia nr 2.pdf
(143 KB)
NSK - cwiczenia nr 3.pdf
(151 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin