LOGIKA
1. (Koniunkcja, iloczyn logiczny) ᴧ
(p ᴧ q)=1 ó p=1 i q=1
Np. („2+3=4” i „7+8=15”)=0
2. (Alternatywa, suma logiczna) v
(p v q)=0 ó p=0 i q=0
3. (Negacja, zaprzeczenie) ~
(~p)=0 ó p=1
(~p)=1 ó p=0
4. (Implikacja) =>, <=
(p => q) = 0 ó p=1 i q=0
Np. „kot ma 1 ogon” => „kobiety mają dwie nogi” (1=>1)=1
5. (Równoważność) ó
(p ó q) = 1 ó p=q
PRAWA :
a) Prawo podwójnego zaprzeczenia
~(~p) ó p
b)Prawo wyłącznego środka – zawsze prawdziwe jest zdanie logiczne lub jego zaprzeczenie
~p v p = 1
c) I Prawo d’Morgana – zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń
~(p v q) ó ~p ᴧ ~q
d) II Prawo d’Morgana – zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń
~(p ᴧ q) = ~p v ~q
e) Przemienność alternatywy
p v q = q v p
f) Przemienność koniunkcji
p ᴧ q = q ᴧ p
DOWODZENIE : ~(~p) ó p
p ~p ~(~p) p LóP
0 1 0 0 1
1 0 1 1 1
KWANTYFIKATORY
Ậ - Kwantyfikator duży, „dla każdego”
Ǝ - Kwantyfikator mały, „istnieje”
Ậ(xЄX)= dla każdego x należącego do X
Ǝ(xЄX)=istnieje x należące do X
Np. Ậ(xЄX){f(x)}= dla każdego xЄX zachodzi f(x)
Ǝ(nЄN)Ậ(xЄR) xn >=0 – istnieje liczba naturalna n, taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x xn>=0
ZBIORY
A, B, C – zbiory
xЄA – x jest elementem zbioru A(należy)
xЄ(przekreślone)A – x nie jest elementem zbioru A(nie należy)
A={a, b, c, ….} – a, b, c … są elementami zbioru A
Ø – zbiór pusty, nie zawiera żadnego elementu
Def. A=B ó xЄAóxЄB np. {1,2,3} = {3,1,2}
Inkluzja – zawieranie :
A c B ó xЄA => xЄB
Działania na zbiorach :
1. Suma zbiorów A u B
xЄAuB ó xЄA v xЄB
2. Iloczyn zbiorów A ᴧ B
xЄAᴧB ó xЄA ᴧ xЄB
3. Różnica zbiorów A/B
xЄA/B óxЄA ᴧ xЄ(nie)B
FUNKCJE
Jeżeli każdemu elementowi xЄX przypiszemy dokładnie jeden element yЄY, to mówimy, że na zbiorze X jest określona funkcja o wartościach w zbiorze Y, co zapisujemy w ten sposób :
f :XàY
Przykład
Funkcja różnowartościowa(iniekcja)- przekształca zbiór X w Y
Def. Mówimy, że funkcja f: Xà Y jest różnowartościowa, jeżeli różnym argumentom przypisuje różne wartości funkcji.
Odwzorowanie typu „na” (suriekcja)
(na cały zbiór Y) =
F : X àNAY jeżeli
Ậ(yЄY)Ẻ(xЄX){y=f(x)}
Złożenie odwzorowań (superpozycja)
Mamy dwa odwzorowania : f :XàY odwzorowanie (g o f) : XàZ
g : YàZ
Ậ(xЄX){g o f} (x) = z1
Przykład : f(x) = 2x, g(x) = -x, h(x) = x-2
f o g = f(g(x)) = f(-x) = 2-x
h o f o g = h(f(g(x))) = h(f(-x)) = h(2-x)= 2-x-2
Tika02