ściąga_drgania.pdf

(45 KB) Pobierz
Drgania swobodne
Punkt materialny o masie
m
wykonuje drgania pod działaniem siły
spręŜystości
F
s
= −kx
F
s
=−kx
oraz
F
s
=ma
−kx = ma
d
2
x
−
kx
=
m
2
dt
d
2
x
m
2
+
kx
=
0
dt
po
ró rów
w
na nu
ni jem
a
y
To jest równanie róŜniczkowe drgań swobodnych
a
dla punktu
drgającego:
a
= −ω
x
2
d
2
x
d
2
x
ma
= −
m
ω
2
x oraz ma
=
m
2
→ −
m
ω
2
x
=
m
2
dt
dt
ω
- częstotliwość drgań swobodnych
ciał nazywamy częstotliwością własną
d
2
x
m
2
+
m
ω
2
x
=
0
dt
k
=
m
ω
2
k
ω=
m
Rozwiązaniem równania róŜniczkowego drgań swobodnych
Rozwiązaniem równania róŜniczkowego drgań swobodnych
jest
x =Acos(ωt+ϕ)
)
lub
x =Asin(ωt+ϕ
1
)
)
ω ϕ
ω ϕ
jest
x =Acos(ωt+ϕ
lub
x =Asin(ωt+ϕ
ω ϕ
ω ϕ
1
Całkowita energia mechaniczna drgającego harmonicznie
punktu materialnego
Energia kinetyczna E
k
drgającego harmonicznie punktu materialnego:
1
1
2
E
k
=
mv
=
mA
2
ω
2
sin
2
(
ω
t
+ ϕ
)
2
2
v
= −
A
ω
sin(
ω
t
+ ϕ
)
Energia potencjalna E
p
drgającego harmonicznie punktu materialnego:
1
2
1
E
p
=
kx
=
kA
2
cos
2
(
ω
t
+ ϕ
)
2
2
Całkowita energia mechaniczna E
c
:
x
=
A cos(
ω
t
+ ϕ
)
1
1
2 2
2
E
c
=
E
k
+
E
p
=
mA
ω
sin (
ω
t
+ ϕ
)
+
kA
2
cos
2
(
ω
t
+ ϕ
)
k
ω=
→
m
ω
2
=
k
2
2
m
=1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
E
c
=
A [m
ω
sin (
ω
t
+ ϕ
)
+
k cos (
ω
t
+ ϕ
)]
=
A k[sin (
ω
t
+ ϕ
)
+
cos (
ω
t
+ ϕ
)]
2
2
1
E
c
=
kA
2
2
W ruchu harmonicznym energia potencjalna i
i
kinetyczna
W ruchu harmonicznym energia potencjalna kinetyczna
oscylatora harmonicznego zmieniają się w taki sposób, Ŝe
oscylatora harmonicznego zmieniają się w taki sposób, Ŝe
ich suma pozostaje stała (zasada zachowania energii)
ich suma pozostaje stała (zasada zachowania energii)
Porównanie drgań tłumionych z drganiami swobodnymi
Drgania swobodne
d
2
x
m
2
+
kx
=
0
dt
Drgania tłumione
d
2
x
dx
m
2
+
b
+
kx
=
0
dt
dt
x
=
A cos(
ω
t
+ ϕ
)
Wskutek działania siły tłumiącej:
•
amplituda drgań maleje z upływem
czasu wg:
x
=
A
0
e
− β
t
cos(
ω
1
t
+ ϕ
)
A
=
A
0
e
− β
t
•
pulsacja drgań jest mniejsza niŜ dla
drgań swobodnych:
ω
1
= ω
2
− β
2
< ω
2
π
T
=
→
T
1
>
T
ω
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Λ
charakteryzuje drgania
tłumione – jest to log naturalny stosunku 2 amplitud w chwilach
t i t+T:
A
0
e
− β
t
A
0
e
− β
t
Λ =
ln
=
ln
=
ln e
β
T
= β
T
A
0
e
−β
( t
+
T )
A
0
e
− β
t
⋅
e
− β
T
b
gdzie β –współczynnik tłumienia:
β =
2m
Drgania wymuszone
Aby opory ośrodka nie tłumiły drgań, to naleŜy działać odpowiednio
zmienną siłą F
w
F
w
–siła wymuszająca
F
w
=
F
0
cos
Ω
t
W przypadku drgań wymuszonych mamy:
czyli
F
s
+
F
t
+
F
w
=
ma
d
2
x
dx
m
2
+
b
+
kx
=
F
0
cos
Ω
t
dt
dt
γ
równanie róŜniczkowe drgań
wymuszonych
gdzie:
Rozwiązaniem tego równania jest:
x
=
A cos(
Ω
t
+ Φ
)
2
β Ω
F
0
A
=
oraz
Φ =
arctg
−
2
2
2 2
2
2
oznaczenie:
γ =
(
ω − Ω
)
+
( 2
β Ω
)
m
ω −Ω
W wyniku działania
siły wymuszającej F
w
punkt materialny wykonuje drgania
harmoniczne z pulsacją
Ω
- taką, z jaką
zmienia się siła wymuszająca
Gdy
F
w
działa na drgające ciało z częstością
Ω
=
Ω
r
, to amplituda drgań tego ciała moŜe
osiągnąć bardzo duŜą wielkość -
rezonans
Ω
r
= ω
2
−
2β
2
β

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin