Ćw. 7
Badanie parametrów wahadła skrętnego
mniejsze kulki:
większe kulki:
*Mierzono odległości od brzegu kulki
Okres drgań pręta:
Tp = 13.06 / 20 = 0.653 s
Dokładność pomiaru czasu: 0.1 s
Zagadnienia teoretyczne
Wahadło skrętne jest uproszczonym modelem cząsteczki chemicznej zbudowanej z dwu atomów (np. HCI, NaCl itp.). Cząsteczki takie mogą wykonywać w ośrodku ruchy rotacyjne, np. pod wpływem pola elektrycznego fali elektromagnetycznej. Drgania takie obserwuje się przy użyciu spektrofotometrów pracujących w podczerwonej części widna fal elektromagnetycznych, jako charakterystyczne widma pasmowe. Częstości rezonansowe v drgań cząsteczek są skwantowane (przybierają wartości dyskretne, będące wielokrotnością stałej Plancka h).
Gdzie h – stała Plancka, I – moment bezwładności cząsteczki, J – liczba kwantowa rotacji, J = 0, 1, 2, 3 ...
Mierząc przy pomocy spektrometru te częstości drgań, które odpowiadają kolejnym wartościom liczby K, można wyznaczyć moment bezwładności cząsteczki I, względem osi przechodzącej przez jej środek masy, prostopadłe do prostej łączącej środki mas obu atomów (lub jonów). Jeśli masy obu atomów nie są jednakowe, to moment bezwładności takiej cząsteczki wynosi
Gdzie m jest tzw. masą zredukowaną, którą określa wzór:
M1 i M2 oznaczają masy atomów tworzących cząsteczkę.
Znając wartość momentu bezwładności cząsteczki I można wyznaczyć bardzo ważny parametr cząsteczki: odległość d środków nas tworzących ją atomów.
Można symulować zachowanie się takiej cząsteczki za pomocą prostego modelu mechanicznego. Zamiast sił pola elektromagnetycznego, na parę kulek działają siły sprężystości drutu stalowego, na którym kulki te są zawieszone. W tym celu kulki nasunięto na pętu stalowy o średnicy 0.4 cm i długości 30 cm. Pręt ten jest zawieszony na stalowym, sprężystym drucie, napiętym na ramie. Odległości kulek od osi obrotu można zmieniać, przesuwając je symetrycznie na pręcie. Układ stanowi więc skrętne wahadło fizyczne, którego okres drgań jest równy:
Gdzie:
I – moment bezwładności układu złożonego z pręta i nasadzonych na niego kul.
D – tzw. moment sił kierujących (lub moment kierujący) powstający w wyniku skręcania drutu.
Moment bezwładności badanego układu jest sumą momentów bezwładności Ip pręta (względem osi prostopadłej do pręta, i przechodzącej przez jego środek), oraz momentu bezwładności Ik obu kul (względem tej samej osi).
I = Ip + Ik
Dlatego wzór na okres drgań badanego układu na postać
Żeby wyznaczyć wartość momentu kierującego D wahadła wystarczy zmierzyć okres drgań samego pręta Tp oraz obliczyć, wykorzystując wzór podany w podręcznikach z mechaniki, na moment bezwładności samego pręta Ip, który ma postać:
gdzie m – masa pręta, l – jego długość
Okres drgań Tp takiego pręta jest równy:
A stąd otrzymujemy:
Moment bezwładności kul dany jest wzorem
Ik = 2Mk×R2
Gdzie Mk - masą kuli, R – odległość środka masy kuli od osi obrotu
Dwójka po prawej stronie wzoru uwzględnia fakt że drgają razem dwie kule, a ich momentu bezwładności się sumują.
Opis doświadczenia
W doświadczeniu korzystano z dwu par kulek, lżejszych (Mk = 33.7 g) i cięższych (Mk = 64.8 g) które rozmieszczano symetrycznie względem środka pręta. Pręt miał naniesioną skalę odległości co 1 cm. Dla ułatwienia, przed rozpoczęciem pomiaru przytrzymywano w pozycji wychylonej jeden koniec pręta przy pomocy elektromagnesu. Od momentu jego wyłączenia mierzono czas potrzebny na wykonanie 20 wahnięć kulek.
Pomiar powtórzono dla kolejnych 10 odległości kulek od osi obrotu.
Opracowanie wyników pomiarów
Otrzymane wyniki pomiarów (tak dla kulek lżejszych, jak i cięższych) naniesiono na układ współrzędnych T2 vs R2 (innymi słowy podniesiono okresy i odległości do kwadratu, po czym naniesiono te wartości na wykres). Jak widać, układają się w przybliżeniu liniowo. Korzystając z wbudowanej funkcji arkusza Excel, przybliżono je liniami prostymi, których równania również naniesiono na wykres.
Następnie wyliczono wartość momentu kierującego. Ponieważ moment bezwładności Ip pręta użytego w eksperymencie został podany w instrukcji i wg. niej wynosi
Ip = 2189 g/cm2
a pomiar okresu drgań pręta dał wynik
Tp = 0.65 s
to po podstawieniu do odpowiedniego wzoru moment kierujący ma wartość:
D = 2.04 * 105 gcm2/s2
Następnie w celu otrzymania równania krzywych teoretycznych dla obu typów kulek przekształcono wcześniej podany wzór na okres drgań:
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy:
Ponieważ były nam podane masy cięższych i lżejszych kulek, po podstawieniu ich do powyższego wzoru otrzymujemy równania krzywych, a właściwie prostych teoretycznych, które dla kulek lżejszych i cięższych wynoszą odpowiednio:
T2=0.013R2+0.42
oraz
T2=0.025R2+0.42
Po naniesieniu powyższych na wykres (patrz Wykres I) widzimy, że niezupełnie pokrywają się z uprzednio naniesionymi pomiarami. Wynika to oczywiście z faktu, że mierząc odległość kulek od osi obrotu, mierzono odległości od brzegu kulki, a nie od jej środka.
Wartość promienia kulek możemy jednak wyliczyć mając podane równania prostych teoretycznych i przybliżonych. Np. dla kulek mniejszych wartości uzyskane doświadczalnie układają się na prostej T2=0.015R2+0.52. Prosta teoretyczna ma równanie T2=0.013R2+0.42. Wobec tego wystarczy wyliczyć różnicę R dla dowolnie wybranej wartości T2 dla obu prostych i otrzymamy brakujący promień kulki:
Bierzemy wartość T2=1. Podstawiając do obu powyższych równań obliczamy R i otrzymujemy wartości 5.65 i 6.68. Ich różnica wynosi 1.03 cm i jest to promień mniejszych kulek. Postępując analogicznie w przypadku kulek większych, otrzymujemy ich promień równy 1.22 cm.
Gdy dodamy te wartości do odległości kulek od osi obrotu (do R), i podstawimy ponownie do odpowiednich wzorów, widzimy że teraz krzywe teoretyczne prawie idealnie pokrywają się z wartościami uzyskanymi doświadczalnie (patrz Wykres II).
Ocena błędu i wnioski
Jak widać z wykresów, błędy wyznaczania prostych są minimalne. Większość punktów rzeczywiście leży na przybliżonych prostych. Jakiekolwiek błędy należy głównie przypisać błędowi pomiaru czasu wahnięć pręta z kulkami. Należy także zwrócić uwagę na minimalne odchylenie pierwszych kilku wartości. Najprawdopodobniej wynika to z faktu, że moment kierujący w tym doświadczeniu nie jest naprawdę wartością stałą i być może w pewnym stopniu zależy np. od obciążenia drutu lub okresu drgań, jako że sam drut z pewnością nie jest idealnie sprężysty. Dodatkowo na błąd mogą wpływać niedokładne ustawienie kulek na pręcie, ich niejednakowa masa czy kształt, jak również bezwładność samej obejmy mocującej pręt do drutu.
Poza tym jednak doświadczenie przebiegało zgodnie z przewidywaniami; teoria pokrywała się z praktyką. Dzięki doświadczeniu, na zasadzie analogii można było zrozumieć, w jaki sposób za pomocą spektrometru można mierzyć odległości między atomami cząsteczek, pomimo tego, że model mechaniczny składał się z drutu i dwóch okrągłych kulek.
ciotka123456