wzory kolos 1.docx

P(X|Y)=PYX*P(X)P(Y)

Zmienne losowe:

∑pi=1

Wartość oczekiwana(średnia):  EX=∑ni=1 (xipi)

Odchylenie standardowe: σ=VX, VX=EX2-(EX)2

W rozkladzie skokowym: F(x)=P(X≤x)=∑Pi

X~Bin

X~Bin(n,p), P(X=k)=nkpkqn-k, p+q=1

EX=np, VX=npq

Rozklad Poissona   X~P(λ)

P(X=k)=e-λ(λk/k!)

EX=VX=λ

Rozklad Normalny X~N(µ,σ)

P(X≤k)=P(X-µσ≤k-µσ)=φ(k-µσ)

P(a≤X≤k)=P(a-µσ≤X-µσ≤k-µσ)=φ(k-µσ)-φ( a-µσ)

Φ(-a)=1- φ(a)

Rozkład Ciągły

-∾+∾fxdx=1

Dystrybuanta: F(X)=-∞xfxdx

EX=-∾+∾fxx dx

P(X<a)=F(a)

P(x<a)= -∾afxdx

P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)

P(a≤X≤k)=F(k)-F(a)   =akfxdx

P(X>a)=a∞fxdx

VX=EX2-(EX)2

Dwuwymiarowa zmienna losowa

∑p=1

Warunek na niezależność zmiennych:

P(X=xi, Y=yk)=P(X=xi)*P(Y=yk)

Wspolczynnik korelacji

δ=cov(X,Y)σxσy,   cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)

δ=0, gdy zmienne sa niezalezne

VX=σx2, VY=σy2

E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c

V(aX+b)=a2VX

V(aX+bY)=a2VX+2ab*cov(XY)+b2VY

Rozkład Ciągły

1=-∞∞dxdy=abydycdxdx

Dystrybuanta: F(X)=-∞x.-∞yFx,ydxdy

Gestosci brzegowe:

fY(y)=-∞∞fx,ydx

fX(x)=-∞∞fx,ydy

Warunek na niezależność zmiennych:

fX(x) *fY(y)=f(x,y)

EX=-∾+∾fxx dx, EX2=-∾+∾fxxx dx

EY=-∾+∾fyy dy, EY2=-∾+∾fyyy dy

δ=cov(X,Y)σxσy,   cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)

E(XY)=-∞∞xyfx,ydxdy

Tw.Lindeberga-Levy’ego

µ=EXk, σ2=VXk:

limn→∞Pa<Sn-nµnσ≤b= φ(b)- φ(a)

Tw. Moivre’a-Laplace’a

limn→∞Pa<Sn-npnpq≤b= φ(b)- φ(a)