PETY – WYKŁAD
(kolokwium 1)
Niezawodność obiektu – własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie.
Niezawodność obiektu określa stopień zaufania, że
w rozpatrywanym przedziale czasu obiekt zachowa zdolność do wypełniania swoich funkcji.
Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.
Zmienną losową charakteryzują ciągłe względem czasu funkcje określone dla :
· dystrybuanta ,
· gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia ,
· funkcja niezawodności ,
· intensywność uszkodzeń ,
Dystrybuanta zmiennej losowej (funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili
, dla
przy czym
Funkcja niezawodności - prawdopodobieństwo, że do chwili nie nastąpi uszkodzenie.
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili , lub później) jest zdarzeniem pewnym:
,
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia jest pochodną dystrybuanty
dla
Intensywność uszkodzeń definiuje się jako:
; dla
Oznaczamy:
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nie nastąpi uszkodzenie w przedziale pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale .
Zgodnie z twierdzeniem Bayesa na prawdopodobieństwo warunkowe można zapisać:
- prawdopodobieństwo warunkowe, że nastąpi uszkodzenie w przedziale pod warunkiem, że nie nastąpiło w przedziale .
Otrzymana granica jest lokalną (w chwili ) funkcją zawodności będącą warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili , pod warunkiem, że do chwili uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
Każda z czterech zdefiniowanych funkcji , , , w sposób jednoznaczny określa zmianę losową , determinując tym samym postać pozostałych funkcji.
Poprzez dystrybuantę wyrazić je można jako:
Poprzez gęstość wyrazić je można jako:
Poprzez funkcję niezawodności wyrazić je można jako:
Znając funkcję intensywności uszkodzeń , w celu wyznaczenia pozostałych funkcji rozwiązujemy równanie różniczkowe:
o warunku początkowym
Równanie całkujemy obustronnie w granicach od do
Wielkości
znane
Wielkości szukane
F(t)
f(t)
R(t)
l(t)
---
wartość oczekiwana
;
całkujemy przez części wg:
wariancja
po scałkowaniu przez części otrzymujemy:
Wielkość oznacza średni czas życia obiektu,
a przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego .
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi:
a) stała wartość dopuszczalna
b) zmienna wartość dopuszczalna
Przy dowolnym wymuszeniu zmiana stanu technicznego obiektu (przekroczenie wartości granicznej, uszkodzenie)
może nastąpić z prawdopodobieństwem
i nie nastąpić z prawdopodobieństwem .
Jakie jest prawdopodobieństwo, że uszkodzenie nastąpi przy wymuszeniu?
Niech:
- zdarzenie polegające na wystąpieniu uszkodzenia
- zdarzenie polegające na niewystąpieniu uszkodzenia
Wystąpienie uszkodzenia przy wymuszeniu oznacza wystąpienie wymuszeń, przy czym przy uszkodzenie nie nastąpiło a przy nastąpiło.
- zdarzenie łączne odpowiadające sytuacji, że uszkodzenie nastąpiło przy wymuszeniu
gdzie:
- prawdopodobieństwo zmiany przy wymuszeniu
- czas pozostawania w wymaganym stanie (stanie zdatności) mierzony liczbą wymuszeń
Ponieważ:
stąd
rozkład geometryczny
+ =1
...
Rzedzian8