MAT BUD 6.pdf

(33 KB) Pobierz
MATEMATYKA BUDOWNICTWO - 5
ZADANIA: Rachunek tensorowy –część 2
1. W punkcie
P
znajduje się masa
m
, wykorzystując tensor bezwładności obliczyć moment
bezwładności tej masy względem prostej przechodzącej przez początek układu
r
współrzędnych i równoległej do wektora
a
:
3
r
a)
P
(
−
1,1,2),
m
=
1
kg
,
a
=
0
 
1
 
3
r
b)
P
(1,1,0),
m
=
2
kg
,
a
=
2
 
1
 
2
r
c)
P
(2,2,
−
1),
m
=
1
kg
,
a
=
−
1
 
2
 
.
2. W punktach
P
1
(1,1,0),
P
2
(
−
1,
−
1,0),
P
3
(2,
−
2,0),
P
4
(
−
2,2,0)
są rozmieszczone odpowiednio masy
m
1
=
3
kg
,
m
2
=
3
kg
,
m
3
=
1
kg
,
m
4
=
1
kg
:
a) Wyznaczyć tensor bezwładności dla danego układu mas,
b) Napisać równanie kwadryki tensorowej i określić jaką powierzchnię ona przedstawia,
c) Wyznaczyć bazę, w której tensor bezwładności jest macierzą diagonalną,
d) Podać macierz przejścia z bazy
β
do bazy
β
′
,
e) Podać tensor bezwładności w bazie
β
′
,
f) Wyznaczyć prostą względem której moment bezwładności jest największy, podać
równanie prostej w bazie
β
i
β
′
,
g) Wyznaczyć moment bezwładności tej masy względem prostej przechodzącej przez
0
r
początek układu współrzędnych i równoległej do wektora
a
=
0
.
 
1
 
3. W punktach
P
1
(0,0,0),
P
2
(3,0,0),
P
3
(0,1,0)
są rozmieszczone odpowiednio masy
m
1
=
1
kg
,
m
2
=
2
kg
,
m
3
=
3
kg
. Napisać równanie kwadryki tensorowej i określić jaką jest
powierzchnią. Wyznaczyć równania prostych przechodzących przez początek układu
współrzędnych, względem których moment bezwładności jest największy i najmniejszy.
Podać jego wartość.
4. Masa o gęstości
ρ
(
x
,
y
,
z
)
=
1
jest rozłoŜona w sześcianie o krawędzi 2. Wyznaczyć
xy
współrzędną tensora bezwładności stojącą w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie.
5. Wyznaczyć tensor bezwładności podanej bryły o danej gęstości
V
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
: 0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤
2,0
≤
z
≤
3
}
,
ρ
(
x
,
y
,
z
)
=
1
.
6. Dla pewnego układu mas tensor bezwładności jest reprezentowany w bazie
β
przez macierz
2
−
1
−
1
r
'
Π
B
=
−
1 4
−
1
.
Wyznaczyć macierz diagonalną
Π
β
'
i wyznaczyć wektor
e
2
bazy
β
′
.
−
1
−
1 4
Obliczyć moment bezwładności tego układu mas względem prostej przechodzącej przez
punkt
(0,0,0)
i równoległej do wektora własnego odpowiadającego wartości własnej równej
5.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin