RO5.PDF

(521 KB) Pobierz
5. PODSTAWOWE POJ CIA TEORII NIEZAWODNO CI
5.1. FUNKCYJNE CHARAKTERYSTYKI NIEZAWODNO CI
Na wst pie nale y zauwa y , e w tym rozdziale przedstawiono tylko te elementy niezawodno ci,
które dotycz obiektów nienaprawialnych, wychodz c z za o enia, e z punktu widzenia analizy ryzyka
podstawowym problemem jest wyznaczenie prawdopodobie stwa wyst pienia uszkodzenia.
jak obiekty naprawialne, odnowa, czas zdatno ci, czas odnowy i inne, polecam monografie po wi cone
teorii niezawodno ci w tym [38].
zastosowania modeli losowych wynika st d, e dost pne oceny wielko ci obci e i dopuszczalnej
Zwi zane jest to z mo liwo ciami naszego poznania prawdziwych warto ci oraz rozk adów napr e
Ñ »
»
“
Ñ
Ñ
Ñ
ó
“
Ą
Ą
Ñ
ƒ“
Ñ
ó
ó »
ó ƒ ó
ó
“
Zainteresowanych szerszym wprowadzeniem w znaczenie tak wa nych poj
ó
Ñ
z dziedziny niezawodno ci
“
Ñ
Teoretyczn baz dla metod oceny niezawodno ci jest teoria prawdopodobie stwa. Konieczno
obci alno ci maj ograniczon dok adno
»
Ñ
ó
½ ó
½
Ñ
Ñ
“
ó
“
- charakteryzuj si pewnym losowym rozrzutem wyników.
½ ó“
i temperatur w mechanicznych systemach, rzeczywistej wielko ci zm czeniowej wytrzyma o ci,
aktualnego stanu powierzchni wspó pracuj cych elementów oraz innych czasami niezbyt dobrze
okre lonych parametrów, które mog w wielu przypadkach mie istotny wp yw na przebieg procesu
zniszczenia. Inaczej, konstruktor, eksploatator lub dysponent systemu zmuszony jest podejmowa decyzje
u ytecznym narz dziem stwarzaj cym projektantowi mo liwo
Podstawow
½
»
ƒ
»
Ñ
kwantyfikowania zaufania odno nie
Ñ
Ñ
zachowania si wytworu, na przyk ad w postaci prognozy niezawodno ci.
prawdopodobie stwo tego, e wytwór lub system b dzie funkcjonowa w zadowalaj cy sposób dla
ustalonego czasu. Przedzia czasu jest okre lony dla warto ci dodatnich, przy czym zak ada si , e dla
czasu o warto ci zero okre lone s parametry wykonawczo - monta owe wytworu. Najcz ciej oznacza
wyzerowany" w efekcie przeprowadzonej naprawy, rozumianej jako procedura odtwarzania oryginalnych
»
»
»
ó “
»
ƒ
Ñ
“
Ñ
ó
»
ó
Ñ
»
“
“
rol
w takim uj ciu spe nia funkcja niezawodno ci, która wyra a
to badanie niezawodno ci nowego wytworu lub obiektu, dla którego czas eksploatacji zosta
Ñ
`
parametrów funkcjonalnych obiektu. Odpowiednio dla ca ego przedzia u [0,
t],
gdzie
t
- oznacza czas, w
którym badany obiekt ma by sprawny, chcemy otrzyma odpowied jakie jest prawdopodobie stwo
takiego zdarzenia. Ogólnie przyj t miar jest funkcja niezawodno ci:
R
(
t
)
=
P
(
T
≥
t
)
Ñ
“
½
ï
ƒ
ƒ
(5.1)
gdzie:
T
- oznacza czas, w którym mo e wyst pi uszkodzenie.
Zauwa my, e funkcj niezawodno ci mo emy otrzyma jako ró nic pomi dzy zdarzeniem
pewnym z prawdopodobie stwem jeden a dystrybuant :
“
½
“
“
ó
ƒ
ó
Ñ
“
ó
ó
ƒ
ó
“
w warunkach okre lonej niepewno ci. W takich sytuacjach metody analizy probabilistycznej okazuj si
Ą
ó
Ñ
Ñ
“
ó
ƒ
Ð
Ñ“
Ð
½
ó
’
»
Ñ
Ñ
“
Ñ
46
która w tej terminologii okre lana jest jako funkcja zawodno ci, bowiem okre la prawdopodobie stwo
stanu, e obiekt w czasie
t
jest uszkodzony:
ó
½
Ñ
Ñ
Ñ
R
(
t
)
=
1
−
F
(
t
)
»
Ñ
ó
½
Korzystaj c, ze znanych z rachunku prawdopodobie stwa zale no ci dla ci g ej zmiennej losowej,
Ą
ó
ƒ ó
ó
“
Ą
zawodno
(dystrybuant ) mo e wyra a zale no :
F
(
t
)
=
t
−∞
f
(
τ
)
d
τ
st d:
R
(
t
)
=
f
(
τ
)
d
τ
,
t
≥
0
∞
t
Funkcja podca kowa jest funkcj g sto ci prawdopodobie stwa, b d c pochodn dystrybuanty, st d:
f
(
t
)
=
dF
(
t
)
d
= −
R
(
t
)
dt
dt
Ñ
Ą
ó
(5.6)
Z prezentowanego punktu widzenia interesuj cym zagadnieniem jest mo liwo okre lenia liczby
wytworów, które mog ulec uszkodzeniu w okre lonym czasie w przysz o ci. Mo liwo ci osi gni cia
za o onej niezawodno ci produkcji zwi zane s z funkcj intensywno ci uszkodze , która okre la
prawdopodobie stwo wyst pienia uszkodzenia obiektu, który dla danego przedzia u czasu jest sprawny:
Ñ
½
»
Ñ
Ñ
½
ó »
“
Ñ
ó
Ñ »
Ñ
λ
(
t
)
=
R
(
t
)
−
R
(
t
+ ∆
t
)
R
(
t
)
∆
t
ó ƒ
ó
½
(5.7)
Poniewa z definicji funkcji g sto ci prawdopodobie stwa mo emy zapisa , e:
Ñ
“
ó
f
(
t
)
=
R
(
t
)
−
R
(
t
+ ∆
t
)
R
(
t
)
∆
t
“
Ñ
Ñ
(5.8)
prawdopodobie stwa przyjmuje posta :
λ
(
t
)
= −
Ą
d
f
(
t
)
[
ln
R
(
t
)
]
=
R
(
t
)
dt
½
Ñ
(5.9)
Typow zale no
5.1.
ó
funkcji intensywno ci uszkodze od czasu eksploatacji przedstawia rysunek
Wyró nia si trzy ró ne okresy [28]:
okres chorób wieku dzieci cego" - przedzia czasu, w którym ujawniaj si wady procesu
“
»
“
ó
“
Ñ
ƒ
“
Ą
to ostateczna zale no
ó
½
pomi dzy intensywno ci uszkodzenia a funkcjami niezawodno ci i g sto ci
“
½
〈
F
(
t
)
=
P T
(
t
)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
∫
(5.5)
∫
Ñ
“
`
»
ó
S
47
wytwarzania i monta u; okres ten odpowiada du ej ale malej cej intensywno ci uszkodze ;
okres normalnej eksploatacji, w którym wyst powanie uszkodze wynika z losowego charakteru
zmian obci e i obci alno ci, które daj modelowa sta , niezale n od czasu eksploatacji,
intensywno ci uszkodze ;
okres kumulacyjnego zu ycia, który objawia si rosn c intensywno ci uszkodze .
½
Ñ
“
ó
½
Ñ
ó
ó
»
ƒ
Ñ
ó
½ ó
śę
ó
½
“
½
Ñ
ó
ó
I
II
okres normalnej
eksploatacji
Rys. 5.1. Funkcja intensywno ci uszkodze niezale na od czasu eksploatacji
у Ñ
Zauwa my, e analizuj c du e populacje identycznych wytworów mo emy okre li
»
ó
ó
do wyst pienia uszkodzenia (MTTF - mean time to failure) ca ego badanego zbioru. MTTF odpowiada
warto ci oczekiwanej okresu do wyst pienia uszkodzenia i mo e by obliczone jako pierwszy moment
rozk adu prawdopodobie stwa zmiennej losowej:
½
»
ƒ
ó
Ñ
MTTF
=
E
[
T
]
=
tf
(
t
)
dt
∞
∫
0
Poniewa , w tym przypadku
ó
MTTF
=
E
[
T
]
= −
tdR
(
t
)
∞
0
to całkuj c przez cz ci otrzymujemy:
ą
MTTF
=
E
[
T
]
= −
tR
(
t
)
0
+
R
(
t
)
dt
=
R
(
t
)
dt
∞
∞
∞
0
0
St d dla rozwa anego przykładu zapisujemy:
ż
ą
MTTF
=
E
[
T
]
=
R
(
t
)
dt
∞
0
ż
ó
∫
½
∫
∫
∫
Ñ
S
S
λ
(
t
)
III -
kumulacyjne zu ycie
t
redni czas
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
48
zdatno ci. Z wzorów (5.10) i (5.12) wynika, e otrzymanie ostatecznych warto ci zale y od postaci
funkcji g sto ci rozk adu prawdopodobie stwa sprawno ci. Z wielu rozk adów u ywanych w badaniach
niezawodno ci w tym miejscu omówimy rozk ad wyk adniczy i rozk ad Weibulla.
»
»
»
Ñ
ó
»
Ñ
½
»
Ñ
“
ó
Ñ
ó
Ñ
5.2. ROZK ADY WYK ADNICZY I WEIBULLA
Zauwa my, e rozk ad wyk adniczy o g sto ci prawdopodobie stwa:
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
½
Ñ
“
»
»
ó
ó
Za o enie to, cz sto u ywane np. w badaniach niezawodno ci obiektów ze wzgl du na mo liwe w ten
sposób uproszczenia w procedurze wnioskowania, w swej istocie opiera si na tezie, e funkcja
intensywno ci uszkodze jest okre lana w procesie konstruowania i wytwarzania i nie zale y od
warunków eksploatacji. Wówczas prawdopodobie stwo nie wyst pienia uszkodzenia w obserwowanym
przedziale czasu mo e by zapisane zale no ci :
P
(
t
+
dt
)
=
P
(
t
)(1
−
λ
dt
)
Ñ
½
ó
ó
Ñ
ó
ƒ
ó
½
ó
Ñ
½
Ñ
ó
“
ó
“
Ñ
ó
“
ó »
Zauwa my, e zgodnie z wzorem (5.15) prawdopodobie stwo stanu zdatno ci w przedziale czasu
rozszerzonym o
dt
równa si iloczynowi prawdopodobie stwa sprawno ci podczas ekspozycji (0,
t)
i ró nicy pomi dzy zdarzeniem pewnym a wyst pieniem uszkodzenia na odcinku
dt.
Zak adaj c, e
zdarzenia s niezale ne a
dt
ó
Ñ
½
“
, ze wzoru (5.15) otrzymamy:
=
dt
→∞
P
(
t
+
dt
)
−
P
(
t
)
dt
Ñ
ó
»
dP
(
t
)
=
λ
P
(
t
)
dt
½
(5.16)
Ostatecznie, po sca kowaniu, wyra enie okre laj ce prawdopodobie stwo nie wyst pienia uszkodzenia
przyjmuje posta :
ƒ
ln
P
(
t
)
= −
λ
t
+
C
1
ó
ó
(5.17)
Poniewa dla czasu
t
= 0 oczekujemy, e stan zdatny jest zdarzeniem pewnym, st d: P(0) = 1 a z równania
(5.17) C
1
= 0. W ten sposób mo emy (5.17) zapisa w formie:
P
(
t
)
=
e
−
λ
t
½
Ñ
Ą
ó
ó
ƒ
ó
(5.18)
Zauwa my,
ó
e otrzymana zale no
“
okre la prawdopodobie stwo braku uszkodzenia
ó ƒ
ó
Ñ
w obserwowanym czasie i przy uwzgl dnieniu okre lenia (5.1) mo emy zapisa , e:
R
(
t
)
=
e
−
λ
t
(5.19)
natomiast
49
ó
8
»
ó
½
Ą
otrzymujemy przy za o eniu, e intensywno
ó
ó »
uszkodze nie zale y od czasu pracy obiektu (
=const).
Ñ
º
Ą
co mo na interpretowa [5] jako równowa no
ó
ƒ
ó
pola pod krzyw niezawodno ci i oczekiwanego czasu
º
(5.14)
(5.15)
4Y
“
ó
F
(
t
)
=
1
−
e
−
λ
t
“
»
“
ó
Ñ
Ą
2
(5.20)
Ñ
“
Podstawiaj c (5.19) do wzoru (5.20) otrzymamy zale no
prawdopodobie stwa rozk adu wyk adniczego:
»
»
½
ó
(5.14) okre laj c
funkcj
g sto ci
f
(
t
)
= −
Ñ
Ñ »
Ñ
Ñ
d
R
(
t
)
=
λ
e
−
λ
t
d
t
»
(5.21)
½
ƒ
ƒ
W a ciwo ci , która w szczególny sposób predystynuje rozk ad wyk adniczy do bada
Ñ
“
`
niezawodno ci w okresie normalnej eksploatacji jest brak pami ci". Oznacza to, e je li do tej pory nie
wyst pi o uszkodzenie to prawdopodobie stwo jego wyst pienia nie zale y od poprzedniego okresu pracy
i b dzie podlega takiemu samemu rozk adowi jak ca kowity okres u ytkowania elementu.
Istotnie:
P
(
T
≥
t
1
+
t
2
/
T
≥
t
1
)
=
=
P
(
T
≥
t
1
+
t
2
)
P
(
T
≥
t
1
)
P
(
T
≥
t
1
+
t
2
∩
T
≥
t
1
)
P
(
T
≥
t
1
)
=
e
−
λ
t
e
−
λ
(
t
1
+
t
2
)
=
=
e
−
λ
t
1
St d:
P
(
T
≥
t
2
)
=
R
(
t
2
)
=
e
−
λ
t
»
ó
ó
2
W tym przypadku niezale nie od tego, e element by sprawny w czasie
t
1
, to o prawdopodobie stwie
wyst pienia uszkodzenia rozstrzyga jedynie ca kowity czas u ytkowania.
Przyk adowo, korzystaj c z braku pami ci" rozk adu wyk adniczego mo na dla
t
1 otrzyma
nast puj ce oszacowanie funkcji zawodno ci:
Ñ
“
++
F
(
t
)
≅
λ
t
Zgodnie z wzorem (5.3) i (5.23)
F
(
t
)
=
1
−
R
(
t
)
=
1
−
e
−
λ
t
ó
poniewa
e
−
λ
t
(
−
λ
t
)
=
1
−
λ
t
+
2!
ƒ
2
(
−
λ
t
)
+
3!
3
+
...
przebieg funkcji zawodno ci i jej oszacowania wed ug wzoru (5.24) dla ró nych warto ci funkcji
1
2
3
u yteczne jedynie dla elementów o bardzo ma ej intensywno ci uszkodze .
½
Ñ
»
ó
ó
ó
8
+
8
+
8
intensywno ci uszkodze , przy czym
½
. Z rysunku wynika, e oszacowanie (5.24) mo e by
Ñ
ó
»
Ą
Ñ
ƒÑ“
i liniow cz
szeregu, co potwierdza poprawno
oszacowania (5.24). Na rysunku 5.2. przedstawiono
ƒ
“
ó
to dla warunku
t
1 mo emy pomin
ó
++
wyrazy zawieraj ce wy sze pot gi i uwzgl dni jedynie zerow
½
8
ó
ó
ó
»
ó
»
»
“
»
½
»
`
ƒ
8
»
»
“
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)
50

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin